对于错误，一般有两种：

• random: 错误以一定的概率发生在每个比特上（对这种问题的研究一般是信息论中，信道熵一类的问题）
• worst case: 错误发生在某个比特上，这也是纠错码襄阳解决的问题

经典线性码：

主要是利用了定义在有限域\(\mathbb{F}_{2}\)上的线性代数，\(\mathbb{F}_{2}=\{0,1\}\)，然后定义了两个操作，\(+\) 和 \(\cdot\)。

\(\cdot\)和正常的乘法一样，只有在\(1 \cdot1\)的时候结果为1，其余都为0，而\(+\)则有一点小不同，因为这是一个封闭的有限域，所以\(1+1\)不等于2而是等于0，计算结果模2。

现在已经有了\(\mathbb{F}_{2}\)，每一个比特都是这么的一个空间，如果我们有n比特，那么我们的空间就是\(\mathbb{F}_{2}^{n}\)，在这个空间上我们可以定义向量。

假定我有了线性独立向量\(g_1,…,g_k\)我们把写着称之为generator of the code，由他们我们可以张成封闭子空间 \(C\)，\(C \geq \mathbb{F}_{2}^{n}\)，这个空间的中的向量都可以由\(a_1g_1+a_2g_2+…+a_kg_k\)表达，其中\(a_1,…,a_k\)也都属于\(\mathbb{F}_{2}\)，这个空间的维度为k。

这里我们定义一个矩阵G，他的每一列都由generator \(g_1,…,g_k\)表示，所以这是一个\(n*k\)的矩阵。如果用属于\(\mathbb{F}_{2}^{k}\)的向量来表示\(a_1,…,a_k\)，则上面的式子就可以变成\(Ga\)，这相当于是一个映射，把空间\(\mathbb{F}_{2}^{k}\)映射成了\(C\)。

这相当于就是一个编码方法了，把\(\mathbb{F}_{2}^{k}\)空间里的k位向量，编码成\(C\)空间里的n位向量，我们只需要做一个矩阵和向量的乘法即可。

用一个例子来说明一下：

多数码：我们的码字空间就是\(C=\{0^n,1^n\}\)，用n个0来表示0，n个1来表示1，G就是一个简单的全1的列向量。

现在来看我们的编码结果，\(\begin{pmatrix} 1\\1\\…\\1\end{pmatrix}a=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\…\\x_n\end{pmatrix}\)。

对于向量x有什么是要满足的吗？

如果我们的编码计算没有问题的话，我们的\(x_1=x_2\),\(x_2=x_3\)，……，\(x_{n_1}=x_n\)，这个永也可以用另一个种方式表达，\(x_1+x_2=0\)因为只有在他们同时为1或者同时为0的时候才会加起来为0。

为此，我们可以定义一个新的矩阵H，\(H= \begin{pmatrix} 1 &1 & 0& … & 0 \\ 0 & 1 & 1 & … & 0 \\ … \\ 0 & 0 & … & 1& 1 \end{pmatrix}\)只有对角线上两个1，其他都是0.

有这个矩阵有什么用呢？

如果我们有了这个矩阵，我们可以用来验证我们的编码是不是对的，通过计算\(Hx=0\)如果等于0，那么我们的编码就是对的，如果不等于0，那么我们的编码就发生了错误。

H也就是我们的检测矩阵 check matrix，如果G是n*k 的矩阵的话，H就是(n-k)*n的矩阵。

我们聊这么久的线性码的意义何在？

因为我们可以把H 也就是 check matrix 拓展到量子的领域，也就是我们的Stabilzer code。

经典线性码，有两种等价的描述，\(C_{c l}=\operatorname{Im}(G)=\operatorname{ker}(H) \leq \mathbb{F}_{2}^{n}\)

对H来说，C空间里的任意一个向量都和H的每一个行向量的内积都是0，\(H x=0 \Longleftrightarrow\langle x, h\rangle = 0 \forall h \in \operatorname{Im}(H^{\dagger})\)

从量子的角度来看，我们的量子码字空间\(C=span\{|x\rangle: x \in C_{cl}\}\)和它对应的check aatrix H。

\(\forall h \in \operatorname{Im}(H^{\dagger})\)我们选择这么一个操作\(Z^{h}=Z_{1}^{h_{1}} \ldots Z_{n}^{h_{n}}\)作用在 $|x\rangle $ 上，得到\(Z^{h}|x\rangle=Z_{1}^{h_{1}}\left|x_{1}\right\rangle \otimes \ldots \otimes Z_{n}^{h_{n}}\left|x_{n}\right\rangle=(-1)^{\langle h, x\rangle}|x\rangle\)。因为\(\langle h, x\rangle=0\)，所以\(Z^h|x\rangle=|x\rangle\)。

也就是说，\(|x\rangle\)是\(Z^h\)特征值为1的特征向量。

\(C=\left\{|\psi\rangle: Z^{h}|\psi\rangle=|\psi\rangle \forall h \in \operatorname{Im} H\right\}\)这个条件的另一种描述方法就是\(|\psi\rangle\) is stabilized by\(Z^h\)。

Stabilizer是什么？

定义

Stabilizer group(S)是什么？

简单来说，stabilizer group(S)就是满足了以下两个条件的Pauli群的子群。

Pauli群是什么？

\(\left\{\omega^{c} X_{j}^{a_{j}} Z_{j}^{b_{j}}\right\}_{j=1, \ldots, N}^{a_{j}, b_{j}, c=0, \ldots, d-1}\)其中 \(w=e^{2\pi i/d}\) ，并且这个群是封闭的。

那么需要满足的两个条件是什么呢？

1. S里面的所有的元素都是对易的，即可以交换，S is an abelian subgroup of \(P_n\)
2. -I不在S里面

这两个条件其实是统一的，可以相互推导，在S里没有-I很容易理解，如果有了-I，那么满足\(-I |x \rangle = |x\rangle\)的\(|x\rangle\)就只有0向量了。

如果在S里面没有-I，那么反对易的元素也不在S里面，Pauli矩阵要么是对易要么反对易，如果它们是反对易的，则存在\(S \ni g h g h=-g h h g=-I\)，与第二个要求矛盾。

Stabilizer 子空间

Stabilizer 子空间就是\(V_S=\{|\psi\rangle: g|\psi\rangle=|\psi\rangle, \forall g \in S\}\)。

一个stabilizer group(S)就有一个对应的stabilizer subspace，S里面的任意一个操作作用在这个子空间里都不会有什么变化。

例子

• \(V_{S}=\operatorname{span}\{|00\rangle\}\)，对于这个子空间，\(S=\{I I, I Z, Z I, Z Z\}=\langle I Z, Z I\rangle\)，之所以后面还划出来了一个IZ和ZI，那么是因为II和ZZ可以通过这两个相乘得到，我们也说， S is generated by IZ,ZI。
• \(V_{S}=\operatorname{span}\{|000\rangle,|111\rangle\}\)这就是我们先前说的重复编码，对于这个子空间，他的S就是\(S=\langle Z Z I, I Z Z\rangle\)前面的两个ZZ保证的是第一个比特和第二个比特是相同的，后面两个ZZ保证的是第二个比特和第三个比特是相同的。
• \(V_{S}=\operatorname{span}\{|+++\rangle,|---\rangle\}\)对于这种情况，找他的S也很容易，因为就是一个换基的过程\(S=\langle X X I, I X X\rangle\)。

投影算子

现在我们还可以来描述这个子空间的投影算子，我们可以先定义一个\(\Pi_{S}\)使得\(\Pi_{S}=\frac{1}{|S|} \sum_{g \in S} g\)

如果\(g \in S\)，那么\(g \Pi_{S}=\Pi_{S}\)，证明这一点很容易，因为：

\(g \sum_{h \in S} h=\sum_{h \in S} g h=\sum_{h^{\prime}=g h \in S} h^{\prime}\)

\(g \in S\)同样也可以导出\(g^{\dagger} \in S\)，因为S是一个封闭可逆的群，那么我们可以得出么\(g^{\dagger} \Pi_{S}=\Pi_{S}\)，即么\(\Pi_{S}^{\dagger} \Pi_{S}=\Pi_{S}\)

这说明了\(\Pi_{S}\)是一个投影算子。

接下来要说明\(\Pi_{S}\)投影的子空间就是我们想要的\(V_S\)，这个分为两方面：

1. 对任意的\(|\psi\rangle\)和\(g \in S\)来说，\(g \Pi_{S}|\psi\rangle=\Pi_{S}|\psi\rangle\)，也就是\(\Pi_{S}|\psi\rangle \in V_{S}\)。
2. 如果\(|\psi\rangle \in V_{S}\)，则\(\Pi_{S}|\psi\rangle=|\psi\rangle\)，即\(V_{S} \subseteq \Pi_{S}\)。

综上，我们可以说，\(\Pi_{S}=\operatorname{Proj}\left(V_{S}\right)\)是子空间上的投影算子。

我们现在可以来计算子空间的维度，让\(|S|=2^{\ell}\)，generator \(S=\left\langle s_{1}, \ldots, s_{\ell}\right\rangle\)，

子空间的维度说起来简单，就是所有stabilizer特征值为1所对应的特征空间的交集，但是谁知道他们是怎么相交的呢？还好我们有投影算子。

我们可以说，\(\operatorname{dim} V_{S}=\operatorname{tr} \Pi_{S}\)，这里的特征值只有0和1，而trace会把1给累加起来。

\(\operatorname{tr} \Pi_{S}=\frac{1}{|S|} \sum_{g \in S} \operatorname{tr} g=\frac{1}{2^{\ell}} \sum_{g \in S} 2^{n} \delta_{g, I}=2^{n-\ell}\)

只有\(g=I\)的时候trace才有值，其他情况就是普通的Pauli，trace为0，而什么情况\(g=I\)呢？事实上只有一种情况，那就是所有的a都为0，因为他们是线性独立的，所以我们子空间的维度是\(2^{n-l}\)

错误检测

回顾我们经典的检测矩阵H，我们有\(x \in C_{c l} \Longleftrightarrow H x=0\)，并不是所有的错误我们都能检测，如果这个错误是把一个可能的码字，变成另一个可能的码字，那么H怎么能知道这个是错误而不是一个正确的操作的？

如果错误正好是\(H(x+e)=H e=0\)，那么这种错误就是不可检测的错误。

量子版本的stabilizer code也是如此。

那么，哪些错误是不能检测的呢？

那就是如果我犯了这个错误，但是我依旧在这组stabilizer的子空间里，这种错误就是不可检测的，因为我分不出来这究竟是错误还是操作。

假设\(|\psi\rangle \in V_{S}\)，\(E \in P_{n}\)，则：\(E|\psi\rangle \in V_{S} \quad \Leftrightarrow \quad g E|\psi\rangle=E|\psi\rangle \forall g \in S\)

\(g E|\psi\rangle=E|\psi\rangle\)意味着\(g E|\psi\rangle=Eg|\psi\rangle\)，则Eg和gE是相等的，E和g对易。

如果我们的错误和我们的stabilizer对易，那么这种错误就是我们不能检测出来的错误。

问题接下来就变成了，如何判断Pauli算子是否对易。

首先，所有的Pauli都可以写成\(p=(-1)^{a} X^{b} Z^{c}\)的形式，对于\(a \in \mathbb{F}_{2}, b, c \in \mathbb{F}_{2}^{n}\)

那么假定我们有另一个Pauli \(q=(-1)^{a^{\prime}} X^{b^{\prime}} Z^{c^{\prime}}\)

则\(p q=(-1)^{a+a^{\prime}} X^{b} Z^{c} X^{b^{\prime}} Z^{c^{\prime}}\)

对于中间的\(Z^{c} X^{b^{\prime}}=Z_{1}^{c_{1}} \cdots Z_{n}^{c_{n}} X_{1}^{b_{1}^{\prime}} \cdots X_{n}^{b_{n}^{\prime}}=X^{b^{\prime}} Z^{c}(-1)^{\left\langle b^{\prime}, c\right\rangle}\)，即，如果Z和X在这一位上都有，那么就会有一个-1.

那么现在pq就变成了，\(p q=(-1)^{a+a^{\prime}+\left\langle b^{\prime}, c\right\rangle} X^{b+b^{\prime}} Z^{c+c^{\prime}}\)

同理，qp可以写成\(q p=(-1)^{a+a^{\prime}+\left\langle b, c^{\prime}\right\rangle} X^{b+b^{\prime}} Z^{c+c^{\prime}}\)

很容易发现，\(p q=(-1)^{\left\langle c, b^{\prime}\right\rangle+\left\langle b, c^{\prime}\right\rangle} q p\)，如果-1上面的指数是0，那么他们就对易，反之，如果上面的指数是1，那么他们就反对易。

而这个，我们又可以写成这样的形式\(\left\langle c, b^{\prime}\right\rangle+\left\langle b, c^{\prime}\right\rangle=\left(\begin{array}{ll}b^{T} & c^{T}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0_{n} & I_{n} \\ I_{n} & 0_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}b^{\prime} \\ c^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}b^{T} & c^{T}\end{array}\right) \Lambda\left(\begin{array}{l}b^{\prime} \\ c^{\prime}\end{array}\right)\)

所以泡利矩阵是否对易的关键记载于看\((b c)\)和\((b' c')\)之间是否垂直了，这里垂直的顶i的是定义是symplectic inner product