Alternating Strings Gym - 100712D 简单dp && Alternating Strings II Gym - 100712L 数据结构优化dp
阅读原文时间:2023年07月08日阅读:5

比赛链接:https://vjudge.net/contest/405905#problem/D

题意:

给你一个长度为n的由0或1构成的串s,你需要切割这个串,要求切割之后的每一个子串长度要小于等于k。且每一个子串内不能全都是01交替,就比如

00101010、11010101这样没有问题,不需要切割,因为前面有两个相同的

01010101、10101010这样就不行,就必须切割开

问你最少需要切割多少次

题解:

我们设定输入的01串下标从1开始

我们使用dp[i]表示:s字符串的从第1个字符到第i个字符最少需要切割多少次

dp转移方程dp[i+j]=min(dp[i+j],dp[i-1]+1)

可以说我们使用dp[i-1]的值去维护后面dp的值,要保证[i,i+j]这一个子串不需要切割,且长度小于等于k

复杂度也就是O(n*k),对于第一题是没问题的

AC代码:

1 #include
2 #include
3 #include
4 #include
5 #include
6 #include
7 #include
8 #include
9 #include
10 #include
11 #include
12 #include
13 #include
14 #include
15 #include
16 using namespace std;
17 typedef long long ll;
18 typedef unsigned long long ull;
19 const ll mod = 1e9 + 7;
20 const int maxn = 1e3 + 10;
21 const int INF = 0x3f3f3f3f;
22 char s[maxn];
23 int dp[maxn];
24 int main()
25 {
26 int t;
27 scanf("%d", &t);
28 while (t--)
29 {
30 int n, k;
31 memset(dp, INF, sizeof(dp));
32 dp[0] = 0;
33 scanf("%d%d", &n, &k);
34 scanf("%s", s + 1);
35 for (int i = 1; i <= n; ++i) 36 { 37 int last = 0, flag = 0, now = s[i] - '0', nnn = 0; 38 while (1) 39 { 40 if (flag == 0 || nnn == 1) 41 { 42 dp[i + last] = min(dp[i - 1] + 1, dp[i + last]); 43 } 44 last++; 45 if (last == k || i + last > n)
46 break;
47 if (nnn)
48 continue;
49 if (s[i + last] - '0' == now)
50 {
51 nnn = 1;
52 }
53 else
54 {
55 flag = 1;
56 now = 1 - now;
57 }
58 }
59 //if(i==1) printf("%d***\n",last);
60 }
61 printf("%d\n", dp[n] - 1);
62 }
63 return 0;
64 }
65 /*
66 4
67 6 3
68 111000
69 5 2
70 11010
71 3 3
72 110
73 3 3
74 101
75
76 1
77 4 4
78 1110
79 */

题解2(线段树+dp):

但是我上面的dp方程无法优化,因为你要使用dp[i-1]的值去更新dp[i+j]的值,那么最坏情况也就是对于j(1<=j<=k),dp[i-1]可以更新每一个dp[i+j]

那么最坏复杂度就是O(n*k)是无法优化的,所以要另辟蹊径

那我们可以把dp转移方程改成

dp[i]=min(dp[i-j]+1,dp[i])

可以说反转了一下,我们需要保证下标为[i-j+1,i]的子串不需要分割且长度小于等于k

那么我们可以使用线段树来维护所有dp[i]的值

对于dp[i]我们可以在线段树中查找区间[i-k,i-1]中的最小值就可以,但是因为题目要求分割后的子串中不能全部是01交替

所以我们查找区间[i-k,i-1]的最小值,我们需要找到以i为结尾,向左边找交替出现01的长度pre,就比如下面的串

0101101(下标从1开始)

i=7的话,如果k无限大,那么dp[i]就可以由dp[3]、dp[2]、dp[1]得到,因为下标4、5位置都是1,那么就说明如果对于变量j<4,那么子串[j+1,i]就可以满足题目要求

然后使用线段树找出来区间[i-k,i-pre]中的最小值就可以了

大致意思理解就可以,细节之处可以自己改一下,毕竟每一个人写的方式不一样

AC代码:

1 #include
2 #include
3 #include
4 #include
5 #include
6 #include
7 #include
8 #include
9 #include
10 #include
11 #include
12 #include
13 #include
14 #include
15 #include
16 #define lson rt<<1,L,mid 17 #define rson rt<<1|1,mid+1,R 18 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 19 using namespace std; 20 typedef long long ll; 21 typedef unsigned long long ull; 22 const ll mod = 1e9 + 7; 23 const int maxn = 1e5 + 10; 24 const int INF = 0x3f3f3f3f; 25 int root[maxn<<2],dp[maxn]; 26 char s[maxn]; 27 void push_up(int rt) 28 { 29 root[rt]=min(root[rt<<1],root[rt<<1|1]); 30 } 31 void update(int rt,int L,int R,int pos,int val) 32 { 33 if(L==R) 34 { 35 root[rt]=val; 36 return; 37 } 38 int mid=(L+R)>>1;
39 if(pos<=mid) 40 update(lson,pos,val); 41 else update(rson,pos,val); 42 push_up(rt); 43 } 44 int query(int rt,int L,int R,int LL,int RR) 45 { 46 if(LL<=L && RR>=R)
47 {
48 return root[rt];
49 }
50 int mid=(L+R)>>1,ans=INF;
51 if(LL<=mid) ans=min(ans,query(lson,LL,RR)); 52 if(RR>mid) ans=min(ans,query(rson,LL,RR));
53 return ans;
54 }
55 int main()
56 {
57 int t;
58 //update(1,1,2,1,0);
59 //printf("%d\n",query(1,1,2,1,1));
60 scanf("%d",&t);
61 while(t--)
62 {
63 int n,k;
64 //mem(root,INF);
65 memset(root,INF,sizeof(root));
66 scanf("%d%d",&n,&k);
67 update(1,1,n+1,1,0);
68 update(1,1,n+1,2,1);
69 dp[1]=0;
70 dp[2]=1;
71 //printf("%d*****\n",query(1,1,n+1,2,2));
72 scanf("%s",s+2);
73
74 int pre=1;
75 for(int i=3;i<=n+1;++i) 76 { 77 if(s[i]==s[i-1]) 78 { 79 pre=1; 80 dp[i]=query(1,1,n+1,max(i-k,1),i-1)+1; 81 //printf("%d ",dp[i]); 82 } 83 else 84 { 85 pre++; 86 if(pre>=k || pre==i-1)
87 {
88 dp[i]=query(1,1,n+1,i-1,i-1)+1;
89 //printf("%d* ",dp[i]);
90 }
91 else
92 {
93 dp[i]=query(1,1,n+1,max(i-k,1),i-pre-1)+1;
94 //printf("%d*** ",dp[i]);
95 }
96 }//printf("**\n+1");
97 update(1,1,n+1,i,dp[i]);
98 //
99 }
100 //printf("***\n");
101 printf("%d\n",dp[n+1]-1);
102 }
103 return 0;
104 }

题解3(双端队列维护):

我们维护一个单调递增的队列,对于一个位置i,我们需要找到以i为结尾,向左边找交替出现01的长度pre

然后如果pre>k或者pre==i(pre==i表示串从头到i位置都是01交替)

那么dp[i]=dp[i-1]+1;

否则就从队列头部取出元素+1就是dp[i]的值

给你四个变量i、j、kk、l(i<j<kk<l,l-i<=k)

现在我们求dp[l]的值,如果dp[j]可以用来维护dp[l](意味这子串[j+1,i]可以当成一个切割后的子串)。如果dp[kk]<dp[j]导致dp[j]被移出队列

那么也就意味着dp[j]无法维护dp[l]的值,这可以吗?

其实是可以的,因为如果dp[j]可以维护dp[l]那么dp[i]也是可以

且如果dp[i]在队列中,dp[i]<dp[j],那么dp[j]丢失了也就没有关系了

代码:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
char s[maxn];
int dp[maxn],que[maxn];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,k,start=0,last=0;
//memset(dp,INF,sizeof(dp));
scanf("%d%d",&n,&k);
scanf("%s",s+1);
dp[0]=0;
que[++last]=0;
//que[++last]=1;
int pre=1;
for(int i=1; i<=n; ++i) { if(startk)
{
//printf("%d %d***\n",que[start+1],i);
start++;
}
if(i==1 || s[i]==s[i-1])
{
pre=1;
dp[i]=dp[que[start+1]]+1;
//if(i==3) printf("%d %d\n",que[start+1],start);
}
else
{
pre++;

            if(pre==i || pre>=i-que\[start+1\])  
            {  
                dp\[i\]=dp\[que\[last\]\]+1;  
                //if(i==n)  
            }  
            else  
            {  
                dp\[i\]=dp\[que\[start+1\]\]+1;  
            }  
        }  
        while(start<last && dp\[i\]<dp\[que\[last\]\])  
            last--;  
        que\[++last\]=i;  
        //printf("%d ",dp\[i\]);  
    }  
    //printf("\\n");  
    printf("%d\\n",dp\[n\]-1);  
}  
return 0;  

}

/*
4
6 3
111000
5 2
11010
3 3
110
3 3
101

*/