目录

• The Order Statistic
  • 引理1 的一些基本性质
• 顺序统计量的分布
• 顺序统计量的条件分布
• 特殊分布的特殊性质

Order Statistic

所谓顺序统计量, 即一族独立的观测\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)的排序后的产物

\[X_{(1)} \le X_{(2)} \le \cdots \le X_{(n)}.
\]

用大写的原因, 自然是我们可以将每一个元\(X_{(i)}\)看成一个随机变量, 实际上它是\(X_i, i=1,\ldots, n\)的一个函数, \(X_{(i)} = X_{(i)}(X_1,X_2,\cdots, X_n)\).

推导顺序统计量的性质, 需要用到一个非常有用的表示方法, 设\(F(x)=P(X\le x)\)为分布函数, 定义其逆为

\[F^{-1}(y) = \inf \{x: F(x) \ge y\},
\]

有一个很好的性质是, 设\(U\)为\([0,1]\)上的均匀分布, 则

\[F^{-1}(U) = F=X,
\]

实际上, 这是因为\(P(F^{-1}(U) \le u) \Leftrightarrow P(U \le F(u))=F(u)\).

故, 倘若我们有独立的随机变量\(U_1, U_2, \ldots, U_n\)以及独立同分布的\(X_1, X_2,\ldots, X_n\), 我们有

\[(X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}) = (F^{-1}(U_{(1)}), F^{-1}(U_{(2)}), \cdots, F^{-1}(U_{(n)})).
\]

另外, 令\(F_n\)表示\(X\)的一个经验分布, 显示为

\[F_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{I}(X_i \le x).
\]

并令

\[\xi_p := F^{-1}(p), \quad \hat{\xi}_{pn} := F_n^{-1}(p).
\]

引理1 \(F^{-1}\)的一些基本性质

引理1: 假设\(F\)为一分布函数, 则\(F^{-1}(t), 0 < t < 1\)是非降左连续的且满足

1. \(F^{-1}F(x) \le x, -\infty < x < \infty\);
2. \(F(F^{-1}(t)) \ge t, 0 < t < 1\);
3. \(F(x) \ge t\)当前仅当\(x \ge F^{-1}(t)\).

注: \(F(x)\)是非降右连续.

定理1: 设\(F(x)\)存在密度函数\(f(x)\).

1. \[P(X_{(k)} \le x) = \sum_{i=k}^n \mathrm{C}_n^i [F(x)]^i [1-F(x)]^{n-i}, -\infty < x < \infty.
   \]

2. \(X_k\)的密度函数为

   \[n\mathrm{C}_{n-1}^{k-1} F^{k-1}(x) [1-F(x)]^{n-k} f(x).
   \]

3. \(X_{(k_1)}, X_{(k_2)}\)的联合密度函数(\(x_1<x_2, k_1<k_2\))为

   \[\frac{n!}{(k_1-1)!(k_2-k_1-1)!(n-k_2)!}[F(x_1)]^{k_1-1} [F(x_2)-F(x_1)]^{k_2-k_1-1} \\
   [1-F(x_2)]^{n-k_2} f(x_1)f(x_2).
   \]

4. 全体顺序统计量的密度函数为

\[n!f(x_1)f(x_2)\cdots f(z_n), \quad -\infty < x_1<x_2<\cdots <x_n < \infty.
\]

proof: 1, 2的证明是简单的, 3需注意\(X_{(k_1)}, X_{(k_2)}\)的分布函数为

\[\sum_{i=k_2}^n \mathrm{C}_n^i [1-F(x_2)]^{n-i} \Big{\{} \sum_{j=k_1}^i \mathrm{C}_{k_2}^j [F(x_1)]^i [F(x_2)-F(x_1)]^{k_2-j} \Big{\}}.
\]

此公式进行求导实际上是和1, 2的证明是类似的. 4的证明是平凡的.

定理2: 设\(F(x)\)存在密度函数\(f(x)\), 则 \(X_{(j)}|X_{(i)}, i< j\)的分布等价于以\(\frac{F(x)-F(x_i)}{1-F(x_i)}, x_i \le x < \infty\)为分布函数的 \(n-i\)个顺序统计量的第\(j-i\)个分布.

proof:

\[\begin{array}{ll}
f(x_j|X_{(i)}=x_i)
&= f_{X_(i), X_{(j)}}(x_i, x_j) / f_{X_{(i)}}(x_i) \\
&= \frac{(n-i)!}{(j-i-1)!(n-j)!} \Big{\{} \frac{F(x_j)-F(x_i)}{1-F(x_i)} \Big{\}}^{j-i-1} \times \Big{\{} \frac{1-F(x_j)}{1-F(x_i)} \Big{\}} \frac{f(x_j)}{1-F(x_i)} \\
&= (n-i)\mathrm{C}_{n-i-1}^{j-i-1} [F_i(x_j)]^{j-i-1} [1-F_i(x_j)]^{n-j} [F_i(x_j)]'.
\end{array}
\]

对比定理1中的公式即可知.

定理3: 设\(F(x)\)存在密度函数\(f(x)\), 则\(X_{(i)}|X_{(j)}, i<j\)的分布等价于以\(\frac{F(x)}{F(x_j)}, -\infty < x \le x_j\)为分布的\(j-1\)个顺序统计量的第\(i\)个分布.

proof: 证明同上.

定理4: 设\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)独立服从于标准指数分布, 令

\[Z_i := (n-i+1) (X_{(i)} - X_{(i-1)}), \quad X_{(0)} \equiv 0,
\]

则\(Z_1, Z_2,\ldots,Z_n\)也独立服从于标准指数分布.

proof: 通过变量替换并利用Jacobian行列式从\(x\)变换到\(z\), 需要注意俩个分布的区域的差别.

定理5: 对于\([0, 1]\)上的均匀分布, 则随机变量\(V_1 = U_{(i)} / U_{(j)}\) 且\(V_2=U_{(j)}, 1 \le i < j \le n\), 独立, 前者服从\(Beta(i, j-1)\), 后者服从\(Beta(j, n-j+1)\).

proof: 同上利用变量替换.

定理6: 对于\([0, 1]\)上的均匀分布, 则随机变量

\[V_1^* = \frac{U_{(1)}}{U_{(2)}}, V_2^*=\Big(\frac{U_{(2)}}{U_{(3)}}\Big)^2, \cdots, V_{n-1}^*=\Big(\frac{U_{(n-1)}}{U_{(n)}}\Big)^2, V_n^*=U_{(n)}^n,
\]

独立且均服从于\([0, 1]\)的均匀分布.

proof: 同样可以用变量替换来做, 不过文中是转换成指数分布然后利用前面的结论来证明的.

定理7: 令\(0 < p < 1.\) 假设\(\xi_p\)存在唯一解\(x\)使得\(F(x^{-}) \le p \le F(x)\), 则

\[P(|\hat{\xi}_{pn} - \xi_p| > \epsilon) \le 2 \exp (-2n\delta_{\epsilon}^2), \forall \epsilon > 0, n,
\]

其中\(\delta_{\epsilon} = \min \{F(\xi_p+\epsilon)-p, p-F(\xi_p-\epsilon)\}\).

proof: 证明拆成并用到了Hoffeding不等式, 感觉挺有技巧性的.

定理11:

1. \(\mathbb{E}(F_n(x)) = F(x)\);
2. \(\mathrm{Var}(F_n(x)) = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}\rightarrow 0.\)

proof: 只需注意到, \(nF_n(x)\)实际上服从的是\(\mathrm{binomial}(n, F(x))\)即可.

定理12:

\[P\{\sup_x |F_n(x) - F(x)| \rightarrow 0\} = 1.
\]

proof: 令\(\epsilon >0\), 取\(k > 1/\epsilon\)以及

\[-\infty =x_0 < x_1 < \cdots < x_{k-1} < x_k = \infty
\]

使得\(F(x_j^-) \le j/k\le F(x_j), j=1\ldots, k-1\). 若\(x_{j-1}< x_j\), 则\(F(x_j^-)-F(x_{j-1}) < \epsilon\).

根据强大数定律, 有

\[F_n(x_j) \mathop{\rightarrow} \limits^{a.s.} F(x_j), F_n(x_j^-) \mathop{\rightarrow} \limits^{a.s.} F(x_j^-), j=1,\ldots, k-1.
\]

故

\[\Delta_n = \max(|F_n(x_j) - F(x_j)|, |F_n(x_j^-) - F(x_j^-)|, j=1,\ldots,k-1) \mathop{\rightarrow} \limits^{a.s.} 0.
\]

对于\(x_{j-1}< x < x_j^-\) (注\(x=x_j\)的情况下面不等式成立是天然的):

\[F_n(x) - F(x) \le F_n(x_j^-) - F(x_{j-1}) \le F_n(x_j^-)-F(x_j^-)+\epsilon\le \Delta_n + \epsilon \\
F_n(x) - F(x) \ge F_n(x_{j-1}) - F(x_j^-) \ge F_n(x_{j-1}) - F(x_{j-1}) -\epsilon \ge \Delta_n - \epsilon.
\]

故

\[\sup_x|F_n(x) - F(x)| \le \Delta_n + \epsilon \mathop{\rightarrow}\limits^{a.s.} \epsilon.
\]

对于任意的\(\epsilon\)均成立. 故不等式成立.

注: 这里的证明和文中的有点不同, 感觉这么写更加合理.

注: 文中还讲了不少其它特别是渐进性质, 能力有限只能看个大概, 便不记录了.

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