代码随想录算法训练营

代码随想录算法训练营Day40 动态规划|01背包问题，你该了解这些！ 01背包问题，你该了解这些!滚动数组 416. 分割等和子集

完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是$o(2^n)$，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

重量

价值

物品0

1

15

物品1

3

20

物品2

4

30

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

1. 确定dp数组以及下标的含义

   对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

   只看这个二维数组的定义，会有点懵，看下面这个图：

   要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

2. 确定递推公式

   再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

   那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)

• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

  所以递归公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])``;

1. dp数组如何初始化

   关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

   首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

   看其他情况。

   状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

   dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

   那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j]应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

   当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

   代码初始化如下：

   for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
   dp[0][j] = 0;
   }
   // 正序遍历
   for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
   dp[0][j] = value[0];
   }

dp数组初始化情况如图所示：

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。

4. 确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

要理解递归的本质和递推的方向。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

5. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

最终结果就是`dp[2][4]``。

建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

题目链接：416. 分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

• 输入: [1, 5, 11, 5]
• 输出: true
• 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

总体思路

这道题目初步看，和如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

• 698.划分为k个相等的子集

• 473.火柴拼正方形

  这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等

  背包问题，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

  背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

  要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

  即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

  要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

  回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

  那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

  只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2

• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值

• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。

• 背包中每一个元素是不可重复放入。

  以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

  动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

   01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

   本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

   套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

   那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

   有录友可能想，那还有装不满的时候？

   拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，举例， dp[7] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。

   而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。

2. 确定递推公式

   01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

   所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3. dp数组如何初始化

   在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

   从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

   如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

   这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

   本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

   // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
   // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
   vector dp(10001, 0);

4. 确定遍历顺序

   在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

   代码如下：

   // 开始 01背包
   for(int i = 0; i < nums.size(); i++) { for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
   dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
   }
   }

5. 举例推导dp数组

   dp[j]的数值一定是小于等于j的。

   如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

   用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：

   最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

   class Solution {
   public:
   bool canPartition(vector& nums) {
   int sum = 0;

       // dp[i]中的i表示背包内总和
       // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
       // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
       vector<int> dp(10001, 0);
       for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
           sum += nums[i];
       }
       // 也可以使用库函数一步求和
       // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
       if (sum % 2 == 1) return false;
       int target = sum / 2;
   // 开始 01背包
   for(int i = 0; i &lt; nums.size(); i++) {
       for(int j = target; j &gt;= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
           dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
       }
   }
   // 集合中的元素正好可以凑成总和target
   if (dp[target] == target) return true;
   return false;
   }

   };