PAM

目录

• PAM
  • 功能：
• 回文树
  • Fail指针
  • Trans指针
• 构建PAM
• 应用
  • P5496【模板】回文自动机（PAM）
  • P4287[SHOI2011]双倍回文
  • P4555[国家集训队]最长双回文串
  • P4762[CERC2014]Virus synthesis
  • P1659[国家集训队]拉拉队排练
  • CF17E Palisection
    • * 注意：邻接链表PAM不是使空间变小了，而是用时间换空间

回文自动机

建议先学习AC自动机：AC自动机讲解超详细

回文自动机，顾名思义，用来处理回文串的自动机。

1.求\(S\)串内本质不同的回文串个数

2.求\(S\)串内本质不同的回文串出现次数

3.最小回文划分

4.\(S\)串中以下标\(i\)结尾的最长回文串长度

回文树

看看自己感悟一下。感觉特别形象，都不用解释了啊

还是稍微解释一下：

1.回文数上每一个节点代表了原串上出现过的一个本质不同回文子串，原串上的每一个回文子串都在回文树上有对应。回文树上每一个点代表的串都是回文串。

2.回文树分两部分，奇和偶，奇树上的点代表的回文串长度为奇数，偶树上的为偶

3.儿子节点代表串长度为父亲节点代表串长度\(+2\)

4.和\(Trie\)相似的其他性质，不说了

学过AC自动机的OIer们应该就很熟悉啦QwQ

\(Fail\)指针含义：这个节点所代表的回文串的最长回文后缀

一般做许多PAM题目常用的东西

\(Trans\)指针含义：小于等于当前节点长度一半的最长回文后缀

构建PAM

我们要维护以下信息

char s[maxn];        //原串
int fail[maxn];        //fail指针
int len[maxn];        //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26];    //同Trie，指向儿子
int trans[maxn];    //trans指针
int tot,pre;        //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置

其中\(fail,len,tree,trans\)为PAM上的信息

构建PAM的方法为增量，即一个一个加入字符构建PAM

奇树和偶树的根长度\(len\)分别为\(-1\)和\(0\)

设当前我们插入原串中\(i\)位置的字符\(u\)

那么以\(i\)为结尾的最长回文串应该为(以\(i-1\)为结尾的最长回文串\(+u\))，并且那个回文串要满足前一个字符等于\(u\)（不然就不是回文串了啊）

要找到那个点非常简单，不断从\(pre\)开始跳\(fail\)，直到找到一个满足\(s[i-len[x]-1]==u\) 的节点\(Fail\) ，那么从\(Fail\)建一个\(u\)儿子即可以表示新的回文串。

新点的\(fail\)怎么求呢。

明显为从\(pre\)开始跳\(fail\)，找到{ [第二个(满足\(s[i-len[x]-1]==u\)) 的节点\(x\) ]的\(u\)儿子 }

也就是从\(Fail\)开始跳\(fail\)，找到{ [第一个(满足\(s[i-len[x]-1]==u\)) 的节点\(x\) ]的\(u\)儿子 }

跳到根记得判断

特别提醒:节点\(1\)为奇根，节点\(0\)为偶根，\(fail[0]=1\) , \(len[1]=-1\)

时间复杂度证明参考OIwiki：OIwiki-PAM

放代码理解：

int getfail(int x,int i){        //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
    while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
void insert(int u,int i){
    int Fail=getfail(pre,i);        //找到符合要求的点
    if(!tree[Fail][u]){     //没建过就新建节点
        len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
        fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u];   //fail为满足条件的次短回文串+u
        tree[Fail][u]=tot;      //认儿子
    }
    pre=tree[Fail][u];      //更新pre
}

至于\(trans\)维护也和\(fail\)差不多

根据\(trans\)的定义去推一下怎么搞吧

放一下完整代码：

char s[maxn];        //原串
int fail[maxn];        //fail指针
int len[maxn];        //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26];    //同Trie，指向儿子
int trans[maxn];    //trans指针
int tot,pre;        //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
int getfail(int x,int i){        //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
    while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
int gettrans(int x,int i){
    while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
void insert(int u,int i){
    int Fail=getfail(pre,i);        //找到符合要求的点
    if(!tree[Fail][u]){     //没建过就新建节点
        len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
        fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u];   //fail为满足条件的次短回文串+u
        tree[Fail][u]=tot;      //指儿子
        if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot];    //特殊trans
        else{
            int Trans=gettrans(trans[Fail],i);  //求trans
            trans[tot]=tree[Trans][u];
        }
    }
    pre=tree[Fail][u];      //更新pre
}

应用

求第 i 个整数表示原串以第 i 个字符结尾的回文子串个数，强制在线

明显：一个回文串的答案等于其最长回文后缀的答案\(+1\) （这超好理解的吧

那就在多维护一个信息\(ans\)表示答案，新建节点时更新即可

ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;

答案为lastans=ans[pre];

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int fail[maxn],len[maxn],ans[maxn],trie[maxn][26];
int pre,slen,lastans,tot;
int getfail(int x,int i){
    while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
int main(){
    scanf("%s",s);slen=strlen(s);
    fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
    for(int i=0;i<slen;i++){
        if(i>=1)s[i]=(s[i]-97+lastans)%26+97;
        int u=s[i]-'a';
        int Fail=getfail(pre,i);
        if(!trie[Fail][u]){
            fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
            trie[Fail][u]=tot;
            len[tot]=len[Fail]+2;
            ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
        }
        pre=trie[Fail][u];
        lastans=ans[pre];
        printf("%d ",lastans);
    }
    return 0;
}

学好\(trans\)指针，秒切此题

明显：当存在\(i\)满足\(len[trans[i]]*2==len[i]\)并且满足题意中\(len[trans[i]]%2==0\)即为符合题意的串，取最长即可。

代码：真·模板

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];        //原串
int fail[maxn];        //fail指针
int len[maxn];        //该节点表示的字符串长度
int tree[maxn][26];    //同Trie，指向儿子
int trans[maxn];    //trans指针
int tot,pre;        //tot代表节点数，pre代表上次插入字符后指向的回文树位置
int getfail(int x,int i){        //从x开始跳fail，满足字符s[i]的节点
    while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
int gettrans(int x,int i){
    while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
void insert(int u,int i){
    int Fail=getfail(pre,i);        //找到符合要求的点
    if(!tree[Fail][u]){     //没建过就新建节点
        len[++tot]=len[Fail]+2; //长度自然是父亲长度+2
        fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u];   //fail为满足条件的次短回文串+u
        tree[Fail][u]=tot;      //指儿子
        if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot];    //特殊trans
        else{
            int Trans=gettrans(trans[Fail],i);  //求trans
            trans[tot]=tree[Trans][u];
        }
    }
    pre=tree[Fail][u];      //更新pre
}
int slen,ans;
int main(){
    scanf("%d",&slen);
    scanf("%s",s);
    fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
    for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i);
    for(int i=2;i<=tot;i++){
        if(len[trans[i]]*2==len[i]&&len[trans[i]]%2==0)
        ans=max(ans,len[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}


题目描述：

顺序和逆序读起来完全一样的串叫做回文串。比如`acbca`是回文串，而`abc`不是（`abc`的顺序为`abc`，逆序为`cba`，不相同）。

输入长度为n的串S，求S的最长双回文子串T,即可将T分为两部分X，Y，（|X|,|Y|≥1）且X和Y都是回文串。

简单PAM题

题解：

正着建一棵PAM，\(a[i]\)记录当前位置\(i\)结尾最长回文串长度

反着建一棵PAM，\(b[i]\)记录当前位置\(i\)结尾最长回文串长度

\(a[i]+b[i+1]\)即为以\(i\)为分界的双回文串

取\(a[i]+b[i+1]\)最大值即为答案

代码：封装版PAM

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int slen,a[maxn],b[maxn],ans;
struct PAM{
    int fail[maxn],len[maxn],trie[maxn][26];
    int tot,pre;
    void init(){fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;pre=0;}
    int getfail(int x,int i){
        while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
        return x;
    }
    void insert(int u,int i){
        int Fail=getfail(pre,i);
        if(!trie[Fail][u]){
            fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
            trie[Fail][u]=tot;
            len[tot]=len[Fail]+2;
        }
        pre=trie[Fail][u];
    }
}A,B;
int main(){
    scanf("%s",s);slen=strlen(s);A.init();B.init();
    for(int i=0;i<slen;i++)A.insert(s[i]-'a',i),a[i]=A.len[A.pre];
    reverse(s,s+slen);      //翻转
    for(int i=0;i<slen;i++)B.insert(s[i]-'a',i),b[slen-i-1]=B.len[B.pre];
    for(int i=0;i<slen-1;i++)ans=max(ans,a[i]+b[i+1]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

PAM好题，请好好思考

题意：

初始有一个空串，利用下面的操作构造给定串 \(S\) 。

1、串开头或末尾加一个字符

2、串开头或末尾加一个该串的逆串

求最小化操作数， \(∣\ S∣≤10^5\) 。

题解：

PAM上dp

一眼可得PAM

我们令PAM上多记录一个信息\(sum\)，表示该节点表示串在原串上出现了多少次。

当我们处理完了\(sum\)，对于长度\(len\)为奇数的节点的信息\(sum\)计入数组\(a[i]\).

\(a[i]\)为长度为\(i\)的回文子串出现次数。

\(a[i]\)降序排序后累加答案快速幂处理一下即可，不需太多点拨

重点来了

讲一下怎么处理\(sum\)

我们可以发现当一个节点\(u\)的\(sum+1\)，那么\(fail[u]\)的\(sum\)也要\(+1\)

熟悉AC自动机的OIer可以敏锐的察觉到可以用拓扑排序了（例如我

建PAM的时候打个标记，最后统一一个拓扑排序向\(fail\)去更新\(sum\)即可

queue<int >q;        //in数组为fail入边数量
void tuopu(){
    for(int i=0;i<=tot;i++)if(in[i]==0)q.push(i);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        sum[fail[u]]+=sum[u];in[fail[u]]--;
        if(in[fail[u]]==0)q.push(fail[u]);
    }
}

好像没什么问题，多一个拓扑排序就行了

但真的如此吗？

我们观察PAM和AC自动机的区别

AC自动机是建好\(Trie\)后再进行\(getFail\)的，\(fail\)的节点编号是会大于自身节点编号

而PAM不会出现这种情况，PAM\(fail\)定义不同于AC自动机，构建使用增量法，保证了\(fail\)的节点编号一定小于自身节点编号。

所以就可以不用拓扑排序了，直接一个\(for\)从后到前更新即可

for(int i=tot;i>=0;i--)sum[fail[i]]+=sum[i];

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1010001
#define ll long long
#define mod 19930726
using namespace std;
char s[maxn];
int fail[maxn],len[maxn],trie[maxn][26],trans[maxn];
long long sum[maxn];
int per,slen,tot;
long long a[maxn],K,ans=1;
int getfail(int x,int i){
    while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
int gettrans(int x,int i){
    while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
void insert(int u,int i){
    int Fail=getfail(per,i);
    if(!trie[Fail][u]){
        len[++tot]=len[Fail]+2;
        fail[tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
        trie[Fail][u]=tot;
        if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot];
        else{
            int Trans=gettrans(trans[Fail],i);
            trans[tot]=trie[Trans][u];
        }
    }
    per=trie[Fail][u];
    sum[per]++;     //记录sum
}
ll qpow(ll n,ll m){
    ll ans=1ll;
    while(m){
        if(m&1){ans=ans*n;ans%=mod;}
        n=n*n;n%=mod;m>>=1;
    }return ans%mod;
}
int main(){
    scanf("%d%lld",&slen,&K);
    scanf("%s",s);
    fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
    for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i);
    for(int i=tot;i>=1;i--)sum[fail[i]]+=sum[i];        //更新sum
    for(int i=2;i<=tot;i++)a[len[i]]+=sum[i],a[len[i]]%=mod;    //长度处理
    for(int i=slen;i>=1;i--){           //答案处理
        if(i%2==1){
            if(K>=a[i]){
                ans*=qpow(i,a[i]);ans%=mod;
                K-=a[i];
            }else{
                ans*=qpow(i,K);ans%=mod;
                K-=K;
                break;
            }
        }
    }
    if(K==0)            //判-1
    printf("%lld\n",ans%mod);
    else
    printf("-1\n");
    return 0;
}

卡空间PAM，2010没有PAM，所以都是马拉车

众所周知，PAM拥有十分优秀的时间复杂度，但空间复杂度lj得不行

但这题卡空间，所以得用到邻接链表PAM

先讲思路

题目要求相交的回文子串对，这很难做

于是我们求补集，求不相交的回文子串对，再用总数减即可

求法和上文的最长双回文子串 类似

正反建一次PAM，存该位置结尾的回文子串个数，然后加法改乘法

自己领悟一下，挺简单的。

现在讲一下邻接链表PAM

注意：邻接链表PAM不是使空间变小了，而是用时间换空间

我们记边结构体\(line\)

存\(3\)个信息：\(nx,to,w\) 分别表示上一条边，这条边通向的节点编号，这条边是代表哪个字符

数组\(fir[i]\)表示\(i\)伸出的最后一条边的编号（头插式

当我们要寻找\(u\)的\(v\)儿子

我们就像邻接链表一样找，直到有一条边的\(w==v\)为止

找不到记得指根

int getson(int u,int v){
    for(int i=u;i!=-1;i=l[i].nx)
        if(l[i].w==v)return l[i].to;
    return -1;
}

建点的时候把边建上

void insert(int u,int i){
    int Fail=getfail(pre,i),ls=getfail(fail[Fail],i);
    if(getson(fir[Fail],u)==-1){
        if(getson(fir[ls],u)==-1)fail[++tot]=0;     //找不到指根
        else fail[++tot]=getson(fir[ls],u); //找到了
        l[++cnt]=(line){fir[Fail],tot,u};fir[Fail]=cnt;     //加边
        len[tot]=len[Fail]+2;
        ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;      //结尾回文子串个数
        pre=tot;
    }else
    pre=getson(fir[Fail],u);
}

然鹅事实上你仍然过不了，你还要继续压空间，省掉一堆数组就可以过啦！

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000005
#define mod 51123987
using namespace std;
char s[maxn];
int slen,b[maxn];
long long res;
int fail[maxn],len[maxn],ans[maxn],fir[maxn];
struct line{int nx,to,w;}l[maxn];
int tot,pre,cnt;
void init(){
    memset(fir,-1,sizeof(fir));cnt=0;
    fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;pre=0;
}
int getfail(int x,int i){
    while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
    return x;
}
int getson(int u,int v){
    for(int i=u;i!=-1;i=l[i].nx)
        if(l[i].w==v)return l[i].to;
    return -1;
}
void insert(int u,int i){
    int Fail=getfail(pre,i),ls=getfail(fail[Fail],i);
    if(getson(fir[Fail],u)==-1){
        if(getson(fir[ls],u)==-1)fail[++tot]=0;
        else fail[++tot]=getson(fir[ls],u);
        l[++cnt]=(line){fir[Fail],tot,u};fir[Fail]=cnt;
        len[tot]=len[Fail]+2;
        ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
        pre=tot;
    }else
    pre=getson(fir[Fail],u);
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s);slen=strlen(s);init();
    reverse(s,s+slen);
    for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i),b[slen-i-1]=ans[pre];
    for(int i=slen-1;i>=0;i--)b[i]+=b[i+1],b[i]%=mod;
    reverse(s,s+slen);init();
    for(int i=0;i<slen-1;i++){
        insert(s[i]-'a',i);int x=ans[pre];
        res+=(1ll*x*b[i+1])%mod,res%=mod;
    }
    printf("%lld\n",((1ll*b[0]*(b[0]-1)/2ll)%mod-res+mod)%mod);
    return 0;
}

To be continue……