[Fundamental of Power Electronics]-PART II-7. 交流等效电路建模-7.2 基本交流建模方法

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[Fundamental of Power Electronics]-PART II-7. 交流等效电路建模-7.2 基本交流建模方法

阅读原文时间：2023年07月09日阅读：1

在本节中，PWM变换器的交流小信号模型导出步骤将被推导和解释。关键步骤是：(a)利用小纹波近似的动态版本，建立了与电感和电容波形的低频平均值相关的方程式，(b)平均方程的扰动和线性化，(c)交流等效电路模型的构建。

以图7.7所示的buck-boost变换器为例。按照以往相同的方式，分析以确定电感和电容的电压电流波形开始。当开关处于位置1时，可以获得图7.8(a)所示的电路。电感电压和电容电流为：

\[v_{L}(t)=L \frac{di(t)}{dt}=v_{g}(t) \tag{7.5}
\]

\[i_{C}(t)=C \frac{dv(t)}{dt}=-\frac{v(t)}{R} \tag{7.6}
\]

现将开关置于位置2，即可获得图7.8(b)所示的电路，其中电感电压和电容电流为：

\[v_{L}(t)=L \frac{di(t)}{dt} =v(t) \tag{7.7}
\]

\[i_{C}(t)=C \frac{dv(t)}{dt}=-i(t)- \frac{v(t)}{R} \tag{7.8}
\]

Fig 7.7 Buck-boost converter example.

Fig 7.8 Buck-boost converter: (a) when the switch is in position 1, (b) when the switch is in position 2.

7.2.1 电感和电容波形平均

我们首先导出电感波形的平均分量随时间变化的方程。我们知道瞬时电感电流与电压之间的关系由如下定义式连接：

\[L \frac{di(t)}{dt}=v_{L}(t) \tag{7.9}
\]

电感电压与电流的平均值之间是否存在类似的关系呢，让我们来推导电感的平均电流：

\[\frac{d_{T_{s}}}{dt}=\frac{d}{dt}[\frac{1}{T_{s}} \int _{t-T_{s}/2} ^{t+T_{s}/2} i(\tau)d\tau] \tag{7.10}
\]

在上式的右边，由于电感电流连续并且电感电流导数\(v_{L}/(t)\)在一个开关周期的积分区间内具有有限个不连续点，所以，我们可以互换微分和积分的顺序。因此，上述式子变为：

\[\frac{d_{T_{s}}}{dt}=\frac{1}{T_{s}}[ \int _{t-T_{s}/2} ^{t+T_{s}/2} \frac{di(\tau)}{d\tau}] \tag{7.11}
\]

最后，我们可以利用式7.9中的\(v_{L}(\tau)\)来代替\(di(\tau)/d\tau\)：

\[\frac{d_{T_{s}}}{dt}=\frac{1}{T_{s}}[ \int _{t-T_{s}/2} ^{t+T_{s}/2} \frac{v_{L}(\tau)}{L}{d\tau} ] \tag{7.12}
\]

重新组织后可得：

\[\frac{d_{T_{s}}}{dt}=_{T_{s}} \tag{7.13}
\]

由这个结果可以知道，电感电压和电流的平均分量遵循式(7.9)的定义，并且其中的\(L\)不变，也没有引入其他项。

那么我们可以利用类似的分析找到电容电压和电流的平均分量之间的关系，结果如下式：

\[C \frac{d_{T_{s}}}{dt}=_{T_{s}} \tag{7.14}
\]

接下来，我们将通过平均电感电压和电容电流波形来评估上述两个方程右边部分。

7.2.2 电感电压平均和小纹波近似

Fig 7.9 Mechanics of evaluating the average inductor waveforms at some arbitrary time \(t\): averaging the inductor voltage \(v_{L}(t)\) and the inductor current \(i(t)\)

Buck-Boost变换器的电感电压和电流波形如图7.9所示。我们期望在任意时间\(t\)计算电感电压平均值\(_{T_{s}}\)。如图7.9所示，平均的时间间隔从\(t-T_{s}/2\)开始到\(t+T_{s}/2\)结束。对于所示的示例时间，在区间长度为\(dT_{S}\)的时间内电感电压为\(v_{L}=v_{g}\)，并且存在两个区间总和为\(d^{'}T_{s}\)的时间内，电感电压为\(v_{L}=v\)。

现在我们使用小纹波近似。但是，在这里我们并不是像第2章一样将\(v_{g}(t)\)和\(v(t)\)以其直流分量\(V_{g}\)和\(V\)进行代替，我们根据式7.3，使用其低频平均值\(_{T_{s}}\)和\(_{T_{s}}\)和\(_{T_{s}}\)来进行替换。重要的是要注意，小纹波近似仅在应用于实际上就是小纹波和无脉动的量是有效的；因此，我们将近似值应用于电感电流，电容电压和确实具有较小纹波并且是时间连续函数的独立源。

小纹波近似的用处在于，我们忽略了这些量在一个开关周期或平均间隔内（\(t-T_{s}/2,t+T_{s}/2\)）的变化。与稳态情况下一样，小纹波近似在数学上实现了极大的简化。

只要电路的固有频率（译者：例如直流电路频率为0，交流50Hz就是50Hz）相比开关频率足够小，并且实际电感电流与电容电压波形的纹波确实很小，那么该近似值就是有效的。

利用小纹波近似，我们可以得到电感电压在区间长度为\(dT_{s}\)的区间内为：

\[v_{L}(t)=L \frac{di(t)}{dt} \approx _{T_{s}} \tag{7.15}
\]

以相同的方式，在剩下总计为\(d^{'}T_{s}\)的区间内，可以将电感电压表示为：

\[v_{L}(t)=L \frac{di(t)}{dt} \approx _{T_{s}} \tag{7.16}
\]

因此，电感电压平均值为：

\[_{T_{s}}=\frac{1}{T_{s}} \int _{t-T_{s}/2} ^{t+T_{s}/2} v_{L}(\tau)d(\tau) \approx d(t)_{T_{s}}+d^{'}(t)_{T_{s}} \tag{7.17}
\]

将上式插入式(7.13)时：

\[L \frac{d_{T_{s}}}{dt}=d(t)_{T_{s}}+d^{'}(t)_{T_{s}} \tag{7.18}
\]

该方程描述了电感电流的平均值是如何随时间变化的，这也是期望得到的结果。

7.2.3 关于近似平均的讨论

式(7.3)的平均计算，在这里再次给出：

\[_{T_{s}}=\frac{1}{T_{s}} \int _{t-T_{s}/2} ^{t+T_{s}/2} x(\tau)d(\tau) \tag{7.19}
\]

平均化是一种能够有助于推导描述开关变换器低频动态特性简易方程式的一种手段。它去除了开关频率及其谐波处的波形分量，同时保留了波形低频分量的幅值和相位。在本章中，我们使用平均值代替相应的波形，来找到描述开关变换器在CCM下的动态特性的模型。在本文的后续章节中，这种平均算子也被应用于如DCM或者电流编程模式的其他场合。

图7.2描绘了占空比以正弦变化的buck-boost变换器的电感电流与电容电压的波形。利用式(7.19)计算的平均值也被叠加到波形上了。可以看到，\(_{T_{s}}\)的波形穿过实际电流波形\(i(t)\)的中心。另外，正如式(7.13)，\(_{T_{s}}\)的增加会导致\(_{T_{s}}\)斜率的增加。

式(7.19)所示的平均值算子是一种能有效执行低通功能来消除开关纹波的变化。实际上，我们可以将等式(7.19)进行拉普拉斯变换得到：

\[_{T_{s}}=G_{av}(s)x(s) \tag{7.20}
\]

可以看到，\(G_{av}(s)\)为：

\[G_{av}(s)=\frac{e^{sT_{s}/2}-e^{-sT_{s}/2}}{sT_{s}} \tag{7.21}
\]

通过使上式中的\(s=j\omega\),我们可以计算出平均算子对角频率为\(\omega\)的正弦波形的影响。然后传递函数\(G_{av}\)变为了：

\[G_{av}(j\omega)=\frac{e^{j\omega T_{s}/2}-e^{-j\omega T_{s}/2}}{j\omega T_{s}}=\frac{sin(\omega T_{s}/2)}{\omega T_{s}/2} \tag{7.22}
\]

图7.10包含了等式(7.22)中的\(G_{av}\)（以分贝表示）与频率之间的关系图（有关频率响应的更多图，请参见第8.1节）。开关算子在低频下的增益为1（或者0dB），在开关频率\(f_{s}\)及谐波处，增益为0（或者\(-\infty\)dB)。式(7.22)是纯实数，并且对于小于开关频率的频率表现出零相移。因此，平均算子保留了波形的低频分量幅值与相位，同时去除了开关频率及其谐波上的分量。

Fig 7.10 Frequency response of the averaging operator: \(||G_{av}(jω)||\) given by Eq. (7.22)

当频率\(f\)大于约\(f_{s}/3\)时，图7.10表现出相当大的衰减。这表明，平均模型可能无法准确预测较高频率下的瞬态响应。DCM的高频动态模型就是这种现象的例子，这将在15.5节中进行讨论。

与第2和第3章中的稳态分析不同，图7.9描绘的是任意时间\(t\)内的平均区间，并不一定以开关管导通时开始。当对高带宽控制方案（如第18章的电流控制模式），这种严格的平均值定义是非常重要的。从\(t-T_{s}/2\)到\(t+T_{s}/2\)的平均间隔的选择可以保留波形的相位，因此可以正确预测电流编程型变换器的特性。还应该注意到，通过将半个周期未来值（\(t+T_{s}/2\))应用于计算平均值不会违反任何物理因果关系的约束，因为这只是一种建模技巧，并未在物理电路中。

们可能还同时注意到，式(7.18)的结果并不需要如此严格的推导也可以得到。为了得到CCM模式下的连续域模型，无论平均间隔是从(\(t-T_{s}/2\))还是从晶体管导通瞬间开始，都可以获得相同的结果。在本书的其他部分，我们将继续采用第2章开始的简单观点：晶体管导通时，平均时间间隔开始。在后面的章节中，将在必要时采用更为严格的处理方法，例如在对电流编程控制的高频动态进行建模。

7.2.4 电容波形平均

利用类似的方法可以得到电容的动态方程。电容电压和电流波形如图7.11所示。当开关位于位置1时，电容电流可以由下式给出：

\[i_{C}(t)=C \frac{dv(t)}{dt}=-\frac{v(t)}{R}\approx- \frac{_{T_{s}}}{R} \tag{7.23}
\]

当开关位于位置2时，电容电流为：

\[i_{C}(t)=C \frac{dv(t)}{dt}=-i(t)-\frac{v(t)}{R} \approx -_{T_{s}}-\frac{_{T_{s}}}{R} \tag{7.24}
\]

平均电容电流可以通过对式(7.23)和(7.24)求平均得到，结果为：

\[_{T_{s}}=d(t)(-\frac{_{T_{S}}}{R})+d^{'}(t)(-_{T_{s}}- \frac{_{T_{s}}}{R}) \tag{7.25}
\]

将上式代入到式(7.2)，合并同类项后得到：

\[C \frac{d_{T_{s}}}{dt}=-d^{'}(t)_{T_{s}}-\frac{_{T_{s}}}{R} \tag{7.26}
\]

这就是描述电容电压的直流和低频交流变化的基本方程。

Fig 7.11 Buck-boost converter waveforms: (a) capacitor current, (b) capacitor voltage

7.2.5 输入电流平均

在第3章中，我们发现有必要列写一个增补方程对变换器输入电流的直流分量进行建模。这样就可以通过直流等效电路对变换器的输入端口进行建模。下面必须遵循类似的方法，从而使得变换器输入端口的低频变化可以通过交流等效电路进行建模。

对于buck-boost变换器实例，在第一个区间内，变换器输入电流\(i_{g}(t)\)与电感电流\(i(t)\)相等，在第二个区间内，\(i_{g}(t)\)为0。通过忽略电感电流纹波，并用平均值\(_{T_{s}}\)来替代\(i(t)\)，我们可以将输入电流表达如下:

\[i_{g}(t)=
\begin{cases}

_{T_{s}} \ \ \ during\ subinterval\ 1 \\
\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ during\ subinterval\ 2

\end{cases}
\tag{7.27}
\]

输入电流波形如图7.12所示。将一个开关周期平均后得到：

\[_{T_{s}}=d(t)_{T_{s}} \tag{7.28}
\]

这就是描述输入电流的直流和低频交流变化的基本方程。

Fig 7.12 Buck-boost converter waveforms: input source current \(i_{g}(t)\).

7.2.6 扰动和线性化

将buck-boost变换器的平均方程7.18,7.26和7.28整理，如下所示：

\[L \frac{d_{T_{s}}}{dt}=d(t)_{T_{s}}+d^{'}(t)_{T_{s}} \\
C \frac{d_{T_{s}}}{dt}=-d^{'}(t)_{T_{s}}- \frac{_{T_{s}}}{R} \\
_{T_{s}}=d(t)_{T_{s}} \tag{7.29}
\]

这些方程是非线性的，因为它们涉及到时变量的乘法。例如，电容电流取决于控制输入\(d^{'}(t)\)和电感电流的低频分量\(_{T_{s}}\)的乘积，时变信号的乘法会产生谐波，这是一个非线性过程。交流电路分析的大多数技术，比如拉普拉斯变换和其他的频域方法，对非线性系统都不适用。所以，我们需要通过构建小信号模型对式7.29进行线性化。

假如使变换器工作于稳态或静态工作点，此时占空比\(d(t)=D\)，静态输入电压为\(v_{g}(t)=V_{g}\)。经过瞬态的结束，我们可以从第2和第3章中的稳态分析中得到，电感电流\(_{T_{s}}\)，电容电压\(_{T_{s}}\)以及输入电流\(_{T_{s}}\)将会分别达到其静态值\(I\)，\(V\)和\(I_{g}\)，其中：

\[V=-\frac{D}{D^{'}}V_{g} \\
I=-\frac{V}{D^{'}R} \\
I_{g}=DI \tag{7.30}
\]

式7.30通常通过电感伏秒平衡和电容电荷平衡推导而来。同时也可以根据式7.29，只需注意到，在稳态下其中的导数均为0，即可得到式7.30。

为了构建静态工作点\((I,V)\)下的小信号模型，其中一个假设为输入电压\(v_{g}(t)\)和占空比\(d(t)\)等于给定的静态工作点\(V_{g}\)和\(D\)再叠加小扰动交流信号\(\hat{v_{g}}(t)\)和\(\hat{d}(t)\)。因此：

\[_{T_{s}}=V_{g}+ \hat{v_{g}}(t) \\
d(t)=D+ \hat{d}(t) \tag{7.31}
\]

在瞬态结束以后，为了响应这些输入，电感电流平均值\(_{T_{s}}\)，电容电压平均值\(_{T_{s}}\)以及输入电流平均值\(_{T_{s}}\)就等于其相应的静态工作值\(I\)，\(V\)和\(I_{g}\)，再叠加相应的交流小信号量\(\hat{i}(t)\)，\(\hat{v}(t)\)和\(\hat{i_{g}}(t)\)：

\[_{T_{s}}=I+\hat{i}(t) \\
_{T_{s}}=V+\hat{v}(t) \\
_{T_{s}}=I_{g}+\hat{i_{g}}(t) \tag{7.32}
\]

假设交流变化值的幅值与直流静态值相比较小，或者：

\[\begin{cases}
|\hat{v_{g}}(t)|<<|V_{g}| \\
|\hat{d}(t)|<<|D| \\
|\hat{i}(t)|<<|I| \\
|\hat{v}(t)|<<|V| \\
|\hat{i_{g}}(t)|<<|I_{g}|
\end{cases}
\tag{7.33}
\]

然后，式7.29就可以被线性化了。这是通过将式7.31和7.32代入7.29实现的。对于电感方程，可以得到：

\[L \frac{d(I+\hat{i}(t))}{dt}=(D+\hat{d}(t))(V_{g}+\hat{v_{g}}(t))+(D^{'}-\hat{d}(t))(V+\hat{v}(t)) \tag{7.34}
\]

值得注意的是，占空比的互补值为：

\[d^{'}(t)=(1-d(t))=1-(D+\hat{d}(t))=D^{'}-\hat{d}(t) \tag{7.35}
\]

其中\(D^{'}=1-D\)。出现在\(d^{'}(t)\)表达式中的负号是由于\(d(t)\)的变化量导致\(d(t)\)增加，同时使得\(d^{'}(t)\)减小。

将式7.34乘开，合并同类项得到：

\[L(\frac{dI}{dt}+\frac{d\hat{i}(t)}{dt})=(DV_{g}+D^{'}V)+(D\hat{v_{g}}(t)+D^{'}\hat{v}(t)+(V_{g}-V)\hat{d}(t))+\hat{d}(t)(\hat{v_{g}(t)}-\hat{v}(t))
\tag{7.36}
\]

由于\(I\)被定义为直流量，其导数为0。为了推导小信号交流模型，可以将直流项视为已知的恒定量，在式7.36的右侧，出现了三种类型的量：

直流量：仅包含直流量 -- \((DV_{g}+D^{'}V)\)

一阶交流量：每一项仅包含一个交流量，通常为一个常系数乘以一个交流量。对于交流变量而言，这些是线性的-- \((D\hat{v_{g}}(t)+D^{'}\hat{v}(t)+(V_{g}-V)\hat{d}(t))\)

二阶交流量：这些项包含交流量的乘积，由于他们包含了时变量的乘积，因此其是非线性的---\(\hat{d}(t)(\hat{v_{g}(t)}-\hat{v}(t))\)

我们期望消除非线性交流量。如果式7.33的小信号假设是满足的，那么，每个二阶非线性项的大小都比一个或者多个线性一阶交流量小得多。例如，当\(|\hat{d}(t)|<<D\)时，二阶交流项\(\hat{d}(t)\hat{v_{g}}(t)\)的大小远小于一阶交流项\(D\hat{v_{g}}(t)\)。所以我们可以忽略二阶小信号量。同时，根据定义（或根据式7.30），式右边的直流量等于左边的直流项或者等于0。

我们就可以得到只剩下一阶交流项的式子，因此：

\[L \frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D\hat{v_{g}}(t)+D^{'}\hat{v}(t)+(V_{g}-V)\hat{d}(t) \tag{7.37}
\]

这是一个理想的结果：描述电感电流变化的小信号线性化方程。

电容的方程可以利用类似的方式进行线性化。将式7.31和7.32代入式电容方程7.29，得到：

\[C \frac{d(V+\hat{v}(t))}{dt}=-(D^{'}-\hat{d}(t))(I+\hat{i}(t))- \frac{(V+\hat{v}(t))}{R} \tag{7.38}
\]

上式展开合并同类项得到：

\[C(\frac{dV}{dt}+\frac{\hat{v}(t)}{dt})=(-D^{'}I-\frac{V}{R})+(-D^{'}\hat{i}(t)-\frac{\hat{v}(t)}{R}+I\hat{d}(t))+\hat{d}(t)\hat{i}(t) \tag{7.39}
\]

通过忽略二阶项，并注意到式子两边直流量相等，我们再次获得了线性化的一阶方程，其仅包含等式7.39的一阶交流项：

\[C \frac{d\hat{v}(t)}{dt}=-D^{'}\hat{i}(t)-\frac{\hat{v}(t)}{R}+I\hat{d}(t) \tag{7.40}
\]

这就是期望得到的描述电容电压变化的小信号线性化方程。

最后，输入电流平均值也被线性化。将式7.31和7.32代入式7.29得到：

\[I_{g}+\hat{i_{g}}(t)=(D+\hat{d}(t))(I+\hat{i}(t)) \tag{7.41}
\]

合并同类项得到：

\[I_{g}+\hat{i_{g}}(t)=(DI)+(D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t))+\hat{d}(t)\hat{i}(t) \tag{7.42}
\]

我们再次忽略二阶非线性交流项，并且，式子左右直流量相等，那么其余的一阶交流项为：

\[\hat{i_{g}}(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t) \tag{7.43}
\]

这就是描述变换器输入电流低频交流分量的线性化小信号方程。

总之，开关变换器的非线性平均方程可以在静态工作点附近进行线性化。变换器的独立输入表示为恒定(DC)值，再加上交流小信号变化量。作为响应，变换器的平均波形采取类似的形式，将式7.31和7.32代入变换器平均非线性方程可以得出直流项，线性交流项和非线性项。如果交流变化量足够小，那么非线性项会远小于线性交流项，并且可以被忽略。剩下的线性交流项组成了变换器交流小信号模型。

7.2.7 小信号等效电路模型的构建

式7.37,7.40和7.43是理想Buck-boost变换器的交流小信号描述，整理如下：

\[L \frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D\hat{v_{g}}(t)+D^{'}\hat{v}(t)+(V_{g}-V)\hat{d}(t) \\
C \frac{d\hat{v}(t)}{dt}=-D^{'}\hat{i}(t)-\frac{\hat{v}(t)}{R}+I\hat{d}(t) \\
\hat{i_{g}}(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t) \tag{7.44}
\]

在第三章中，我们整理了变换器的直流平均方程，并对变换器模型的直流特性等效电路进行了重构。我们可以在此利用类似的过程来构建变换器的平均小信号交流模型。

式7.44或者7.37所示的电感方程，描述了含有电感的电压环路。实际上该方程是通过环路分析求得电感电压，然后取平均值，进行扰动并且线性化得出的。因此，该方程代表了包含电感的小信号模型环路的电压。环路电流是小信号交流电感电流\(\hat{i}(t)\)。如图7.13所示，\(Ld\hat{i}(t)/dt\)代表了小信号模型中电感的电压。这个电压等于另外三项电压之和。\(D\hat{v}_{g}(t)\)和\(D^{'}\hat{v}(t)\)代表所示的独立源。这些项将被结合为理想变压器。\((V_{g}-V)\hat{d}(t)\)由控制输入\(\hat{d}(t)\)驱动，并且由所示的独立源代表。

Fig 7.13 Circuit equivalent to the Small-signal ac inductor loop equation of Eq 7.44 or 7.37

式7.44或7.40描述了流过含有电容的节点的电流方程。该方程是通过节点分析确定电容电流然后进行平均，扰动和线性化得出的。所以，该方程描述了流入连接到含有电容节点的小信号模型节点的电流。如图7.14所示，\(Cd\hat{v}(t)/dt\)代表小信号模型中流过电容C的电流。电容电压为\(\hat{v}(t)\)。根据这个方程，电流电流等于其他三项之和。\(-D^{'}\hat{i}(t)\)代表一个最后将被组合为理想变换器的独立源。\(-\hat{v}(t)/R\)被认为是小信号模型中流过负载电阻的电流。负载电阻与电容并联，使得电阻两端的交流电压为期望的\(\hat{v}(t)\)。\(I\hat{d}(t)\)由控制输入\(\hat{d}(t)\)驱动，并且如图由独立源代表。

Fig 7.14 Circuit equivalent to the Small-signal ac capacitor node equation of Eq 7.44 or 7.40

式(7.44)或(7.43)描述了变换器从输入电压源\(\hat{v}_{g}(t)\)汲取的电流\(\hat{i}_{g}(t)\)的小信号模型。这是一个如图7.15所示的表明了\(\hat{i}_{g}(t)\)等于两个支路电流的节点方程。第一个支路，对应了\(D\hat{i}(t)\)项，取决于交流电感电流\(\hat{i}(t)\)。因此我们用一个受控电流源来表示这一项，这个源将最终被合并到理想变压器中。第二个支路对应的是\(I\hat{d}(t)\)，这是由控制输入\(\hat{d}(t)\)驱动，并且由如图所示的一个独立源表示。

Fig 7.15 Circuit equivalent to the small-signal ac input source current equation of Eq. (7.44) o r (7.43)

图7.13,7.14和7.15被整理在图7.16a中。正如第3章所述，受控源可以结合形成如图7.16b所示的有效的理想变压器。在变压器符号上的正弦曲线表示变压器是理想的，并且其是平均小信号交流模型的一部分。因此，CCM下直流变压器的特性也会影响变换器信号中的交流小信号的变化。

现在就可以通过使用常规线性电路分析理论求解图7.16b的等效电路，来得到变换器的传递函数，输入输出阻抗等。这将在下一章中详细介绍。此外，如7.2.10节给出的例子，还可以通过考虑损耗和其他非线性特性来完善模型。

Fig. 7.16 Buck–boost converter small-signal ac equivalent circuit: (a) the circuits of Figs.7.13, 7.14,7.15, collected together; (b) combination of dependent sources into effective ideal transformers, leading to the final model

7.2.8 扰动和线性化步骤的讨论

在扰动和线性化步骤中，假设平均电压或者电流由一个恒定（DC）分量和一个围绕着该DC分量周围变化的小信号交流分量组成。在7.2.6节中，通过忽略小信号交流变化量的乘积项的非线性项来完成线性化步骤。通常，线性化步骤就是将非线性关系的泰勒展开式中只保留常数项和一次线性项的结果。例如，式7.29中电感电流大信号平均方程可以写为：

\[L \cfrac{d_{T_{s}}}{dt}=d(t)_{T_{s}}+d^{'}(t)_{T_{s}}\\ =f_{1}(_{T_{s}},_{T_{s}},d(t)) \tag{7.45}
\]

让我们将上式关于静态工作点(\(V_{g},V,D\))展开为三阶泰勒级数：

\[L(\frac{dI}{dt}+\frac{d\hat{i}(t)}{dt})=f_{1}(V_{g},V,D)+\hat{v}_{g}(t) \frac{\delta f_{1}(v_{g},V,D)}{\delta v_{g}}|_{v_{g}\\ =V_{g}}+\hat{v}(t) \frac{\delta f_{1}(V_{g},v,D)}{\delta v}|_{v=V} \\
+\hat{d}(t) \frac{\delta f_{1}(V_{g},V,d)}{\delta d}|_{d=D} +high-order\ nonlinear\ terms \tag{7.46}
\]

为了简化符号的表示，上述方程中代表平均值的三角括号被省略，由于\(I\)定义为直流项，其导数为0。得到方程左右直流项为：

\[0=f_{1}(V_{g},V,D) \tag{7.47}
\]

这是电感的伏秒平衡关系。式(7.46)右边的线性项的系数如下：

\[ \frac{\delta f_{1}(v_{g},V,D)}{\delta v_{g}}|_{v_{g}=V_{g}}=D \tag{7.48}
\]

\[\frac{\delta f_{1}(V_{g},v,D)}{\delta v}|_{v=V}=D^{'} \tag{7.49}
\]

\[\frac{\delta f_{1}(V_{g},v,d)}{\delta d}|_{d=D}=V_{g}-V \tag{7.50}
\]

利用上述三式，并且忽略非线性项，令式(7.46)左右线性交流项相等：

\[L\frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D\hat{v}_{g}(t)+D^{'}\hat{v}(t)+(V_{g}-V)\hat{d}(t) \tag{7.51}
\]

这与7.2.6节中推导出的式(7.37)相同，总之，线性化总可以通过泰勒展开来实现。

可以对小信号模型中的非线性负载采用类似的方法。图7.17描绘了非线性负载特性的线性化，其中：

\[i=f(v) \tag{7.52}
\]

我们可以将\(i-v\)特性曲线在静态工作点(\(V,I\))进行泰勒展开：

\[I+\hat{i}=f(V)+\hat{v} \frac{df(v)}{dv}|_{v=V}+high-order\ nonlinear\ terms \tag{7.53}
\]

小信号项为：

\[\hat{i}=\frac{\hat{v}}{R} \tag{7.54}
\]

其中\(R\)定义为静态工作点的斜率：

\[\frac{1}{R}=\frac{df(v)}{dv}|_{v=V} \tag{7.55}
\]

变换器的直流解就可以根据式(7.52)在\(v=V,i=I\)的非线性负载特性。变换器的小信号交流模型可以由式(7.54)线性方程得到。

Fig. 7.17 Small-signal modeling of nonlinear load characteristic: (a) schematic, (b) linearization of \(i–v\) characteristic

7.2.9 一些基本变换器结果

图7.18总结了在CCM下工作的，buck，boost以及buck-boost变换器的等效电路模型。buck和boost变换器的模型包含理想变压器，其匝数比等于变换器的转换比。buck-boost变换器包含具有降压和升压变换比的理想变压器。这与6.1.2节中，buck-boost变换器作为buck和boost级联推导出的结果相一致。当负载为非线性时，式(7.55)的负载电阻增值(译者：斜率？)将被采用。可以通过对这些模型的求解，来得到变换器的传递函数，输入输出阻抗以及电感电流变化等。通过对理想变压器匝数比的合适设置，图7.18的等效电路可用于对buck，boost和buck-boost变换器的变压器隔离版本，其中包括正激反激和其他变换器进行建模。

Fig. 7.18 Averaged small-signal ac models for several basic converters operating in continuous conduction mode: (a) buck, (b) boost, (c) buck–boost

7.2.10 例子：非理想反激变换器

为了说明前述技术可以对不同变换器特性进行建模，接下来让我们对包含隔离变压器和电阻损耗的变换器建立交流小信号模型电路。如图7.19所示为一个隔离的反激变换器。反激变换器具有励磁电感\(L\)(以初级绕组为基准)，其匝数比为\(1:n\)。MOSFET \(Q_{1}\)的导通电阻为\(R_{on}\)。其他损耗项，例如变压器漏感和开关损耗都被忽略。该变换器的交流建模以类似6.3.4节的直流变换器的分析方式开始。如图7.20所示，反激变压器由包含于理想变压器并联的励磁电感等效电路构成。

Fig. 7.19 Flyback converter example

Fig. 7.20 Flyback converter example: (a) incorporation of transformer equivalent circuit, (b) circuit during subinterval 1, (c) circuit during subinterval 2

在第一个子区间，MOSFET \(Q_{1}\)导通，二极管\(D_{1}\)关断。电路退化为图7.20b所示。电感电压\(v_{L}(t)\)，电容电流\(i_{C}(t)\)和输入电流\(i_{g}(t)\)为：

\[v_{L}(t)=v_{g}(t)-i(t)R_{on} \\
i_{C}(t)=-\frac{v(t)}{R} \\
i_{g}(t)=i(t) \tag{7.56}
\]

接下来利用小纹波近似，将电压与电流用式(7.3)定义的平均值替代，可以获得：

\[v_{L}(t)=_{T_{s}}-_{T_{S}}R_{on} \\
i_{C}(t)=-\frac{_{T_{s}}}{R} \\
i_{g}(t)=_{T_{S}} \tag{7.57}
\]

在第二个子区间内，MOSFET \(Q_{1}\)关断，二极管\(D_{1}\)导通，并且可以得到如图7.20c所示的电路。对该电路进行分析，电感电压，电容电流和输入电流为：

\[v_{L}(t)=-\frac{v(t)}{n} \\
i_{C}(t)=\frac{i(t)}{n}-\frac{v(t)}{R} \\
i_{g}(t)=0 \tag{7.58}
\]

经过小纹波近似得到：

\[v_{L}(t)=\frac{_{T_{s}}}{n} \\
i_{C}(t)=-\frac{_{T_{s}}}{n}-\frac{_{T_{s}}}{R} \\
i_{g}(t)=0 \tag{7.59}
\]

电感电压和电流波形如图7.21所示。现在可以通过对图7.21a所示的一个开关周期内的波形进行平均得到平均电感电压。具体结果为：

\[_{T_{s}}=d(t)(_{T_{s}}-_{T_{s}}R_{on})+d^{'}(t)(\frac{_{T_{s}}}{n}) \tag{7.60}
\]

将此式代入式(7.13)，可以获得电感的平均方程：

\[L \frac{d_{T_{s}}}{R}=d(t)_{T_{s}}-d(t)_{T_{s}}R_{on}-d^{'}(t) \frac{_{T_{s}}}{n} \tag{7.61}
\]

Fig. 7.21 Inductor waveforms for the flyback example: (a) inductor voltage, (b) inductor current

电容电流波形如图7.22。平均电容电流为：

\[_{T_{s}}=d(t)(\frac{_{T_{s}}}{R})+d^{'}(t)( \frac{_{T_{s}}}{n}-\frac{_{T_{s}}}{R}) \tag{7.62}
\]

Fig. 7.22 Capacitor waveforms for the flyback example: (a) capacitor current, (b) capacitor voltage

这就得到了电容的平均方程：

\[C \frac{d_{T_{s}}}{dt}=d^{'}(t) \frac{_{T_{s}}}{n}-\frac{_{T_{s}}}{R} \tag{7.63}
\]

变换器输入电流如图7.23所示，其平均为：

\[_{T_{s}}=d(t)_{T_{s}} \tag{7.64}
\]

Fig. 7.23 Input source current waveform, flyback example

式(7.61),(7.63)和(7.64)的平均方程整理为：

\[L \frac{d_{T_{s}}}{dt}=d(t)_{T_{s}}-d(t)_{T_{s}}R_{on}-d^{'}(t) \frac{_{T_{s}}}{n} \\
C \frac{d_{T_{s}}}{dt}=d^{'}(t) \frac{_{T_{s}}}{n}-\frac{_{T_{s}}}{R} \\
_{T_{s}}=d(t)_{T_{s}} \tag{7.65}
\]

这是一组非线性的微分方程，因此下一步就是进行扰动和线性化来构建变换器的交流小信号模型。我们假设变换器输入电压\(v_{g}(t)\)和占空比\(d(t)\)可以表示为静态值加上小交流变化值，如下所示：

\[_{T_{s}}=V_{g}+\hat{v}_{g}(t) \\
d(t)=D+\hat{d}(t) \tag{7.66}
\]

为了响应这些输入，在所有瞬态结束后，平均变换器的波形也可以表示为静态值加上交流小变化值：

\[_{T_{s}}=I+\hat{i}(t) \\
_{T_{s}}=V+\hat{v}(t) \\
_{T_{s}}=I_{g}+\hat{i}_{g}(t) \tag{7.67}
\]

通过这些替换，电感大信号平均方程变为：

\[L \frac{d(I+\hat{i}(t))}{dt}=(D+\hat{d}(t))(V_{g}+\hat{v}_{g}(t))-(D^{'}-\hat{d}(t)) \frac{V+\hat{v}(t)}{n}-(D+\hat{d}(t))(I+\hat{i}(t))R_{on} \tag{7.68}
\]

将上式展开并合并同类项：

\[L(\frac{dI}{dt}+\frac{d\hat{i}(t)}{dt})=(DV_{g}- D^{'}\frac{V}{n}-DR_{on}I) \\
+(D\hat{v_{g}(t)}-D^{'}\frac{\hat{v}(t)}{n}+(V_{g}+\frac{V}{n}-IR_{on})\hat{d}(t)-DR_{on}\hat{i}(t))\\
+(\hat{d}(t)\hat{v}_{g}(t)+\hat{d}(t)\frac{\hat{v}(t)}{n}-\hat{d}(t)\hat{i}(t)R_{on})
\tag{7.69}
\]

通常，这个式子包含三类项。其一是不含时间变化的直流项，一阶交流项是电路中交流变化量的线性函数，二阶交流项是是交流量的乘积。如果式(7.33)的小信号假设得到满足，那么交流二阶项在幅值上将会远小于一阶项，因此可以被忽略。其中，直流项必须满足：

\[0=DV_{g}-D^{'} \frac{V}{n}-DR_{on}I \tag{7.70}
\]

通过对电感稳态电压波形应用伏秒平衡原理，也可以得到一样的结果。并且，一阶交流项必须满足：

\[L \frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D\hat{v}_{g}(t)-D^{'} \frac{\hat{v}(t)}{n}+(V_{g}+\frac{V}{n}-IR_{on})\hat{d}(t)-DR_{on}\hat{i}(t) \tag{7.71}
\]

这就是描述电感电流交流变化的线性方程。

将式(7.66)和(7.67)代入电容平均方程(7.65)中，可以得到：

\[C \frac{d(V+\hat{v}(t))}{dt}=(D^{'}-\hat{d}(t))\frac{I+\hat{i}(t)}{n}-\frac{V+\hat{v}(t)}{R} \tag{7.72}
\]

合并同类项得到：

\[C(\frac{dV}{dt}+\frac{D\hat{v}(t)}{dt})=(\frac{D^{'}I}{n}-\frac{V}{R})+(\frac{D^{'}\hat{i}(t)}{n}-\frac{\hat{v}(t)}{R}-\frac{I\hat{d}(t)}{n})-\frac{\hat{d}(t) \hat{i}(t)}{n} \tag{7.73}
\]

将二次项忽略，式(7.73)的直流项满足：

\[0=(\frac{D^{'}I}{n}-\frac{V}{R}) \tag{7.74}
\]

对稳态电容电流波形使用电荷平衡原理，也可以得到同样的结果。式(7.73)中的一阶小信号交流模型为：

\[C \frac{d\hat{v}(t)}{dt}=\frac{D^{'}\hat{i}(t)}{n}-\frac{\hat{v}(t)}{R}-\frac{I\hat{d}(t)}{n} \tag{7.75}
\]

将式(7.66),(7.67)代入直流输入电流的平均方程(7.65)得到：

\[I_{g}+\hat{i}_{g}(t)=(D+\hat{d}(t))(I+\hat{i}(t)) \tag{7.76}
\]

合并同类项获得：

\[I_{g}+\hat{i}_{g}(t)=(DI)+(D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t))+\hat{d}(t)\hat{i}(t) \tag{7.77}
\]

其中直流项必须满足：

\[I_{g}=DI \tag{7.78}
\]

忽略式(7.77)中的二阶交流项，得到如下所示的交流线性方程：

\[\hat{i}_{g}(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t) \tag{7.79}
\]

这就得到了变换器输入电流的低频交流变化模型。

对于方程的静态值，式(7.70),(7.74)和(7.78)整理如下：

\[0=DV_{g}-D^{'}\frac{V}{n}-DR_{on}I \\
0=(\frac{D^{'}I}{n}-\frac{V}{R}) \\
I_{g}=DI \tag{7.80}
\]

对于给定的输入电压\(V_{g}\)和占空比\(D\)，可以利用方程计算得到静态输出电压\(V\)，电感电流\(I\)和输入电流\(I_{g}\)。然后将结果代入交流小信号模型中。

式(7.71)，(7.75)和(7.79)的交流小信号模型整理如下：

\[L \frac{d\hat{i}(t)}{dt}=D \hat{v}_{g}(t)-D^{'} \frac{\hat{v}(t)}{n}+(V_{g}+\frac{V}{n}-IR_{on})\hat{d}(t)-DR_{on}\hat{i}(t) \\
C \frac{d\hat{v}(t)}{dt}=\frac{D^{'}\hat{i}(t)}{n}-\frac{\hat{v}(t)}{R}-\frac{I\hat{d}(t)}{n} \\
\hat{i}_{g}(t)=D\hat{i}(t)+I\hat{d}(t) \tag{7.81}
\]

最后一步就是构建与这些等式相对应的等效电路。

首先是通过列写环路方程得到电感方程，来找到每个子区间内施加于电感上的电压。这些方程被平均，扰动和线性化，从而得到式(7.71)。因此这个方程描述了含电感环路的交流小信号电压。环路电流为电感电流\(\hat{i}(t)\)。其中\(L d\hat{i}(t)/dt\)为电感的低频交流电压。等式右边四项是环路中其他四个元素的电压。\(D\hat{v}_{g}(t)\)与\(-D^{'}\hat{v}(t)/n\)取决于变换器电路中其他地方的电压，因此他们在图7.24中以受控源代替。第三项由占空比\(\hat{d}(t)\)来驱动，因此其表现为一个独立源。第四项为\(-DR_{on}\hat{i}(t)\)，是一个与环路电流成比例的电压。因此这一项遵循欧姆定律，表现在图中为一个有效阻值为\(DR_{on}\)的元件。因此，MOSFET导通电阻对变换器小信号传递函数的影响可以通过有效值为\(DR_{on}\)的电阻来建模。

Fig. 7.24 Circuit equivalent to the small-signal ac inductor loop equation, Eq. (7.81) o r (7.71)

电容小信号方程得到了如图7.25所示的等效电路。这个方程构成了等效电路模型的节点方程。该式表明了电容电流\(Cd\hat{v}(t)/dt\)等于其他三项电流。电流\(D^{'}\hat{i}(t)/n\)取决于模型中的电流，因此这里用受控源来替代。而\(-\hat{v}(t)/R\)是负载电流的交流分量，被建模为并联于电容的负载电阻\(R\)。最后一项由占空比\(\hat{d}(t)\)驱动，因此其被建模为独立源。

Fig. 7.25 Circuit equivalent to the small-signal ac capacitor node equation, Eq. (7.81) o r (7.75)

如式(7.79)的输入端口方程，同样构成了节点方程。它描绘了变换器从输入电压源\(\hat{v}_{g}(t)\)汲取的交流小信号电流\(\hat{i}_{g}(t)\)。等式中还有其他两项。\(D\hat{i}(t)\)取决于电感电流交流分量\(\hat{i}(t)\)，并被建模为受控源。而\(I\hat{d}(t)\)由控制变量驱动，同样也被建模为受控源。输入端口的等效电路如图7.26所示：