SCOI 2008 【奖励关】
阅读原文时间:2023年07月08日阅读:2

早上的考试一道都做不出,被教做人,心态爆炸ing。。。。。。

题目描述:

你正在玩你最喜欢的电子游戏,并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里,系统将依次随机抛出k次宝物,每次你都可以选择吃或者不吃(必须在抛出下一个宝物之前做出选择,且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃)。

宝物一共有n种,系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说,即使前k-1 次系统都抛出宝物1(这种情况是有可能出现的,尽管概率非常小),第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分,但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次,才能吃第i 种宝物(如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物,相当于白白的损失了一次机会)。注意,Pi 可以是负数,但如果它是很多高分宝物的前提,损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略,平均情况你一共能在奖励关得到多少分值?

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15,分值为[-106,106]内的整数。

思路分析:

n很小,很明显的状压DP,二进制状态sta表示n件宝物吃的状态,0表示还没吃,1表示吃过了。推出dp的状态,f[i][sta]表示目前处于第i轮,在前i轮吃到宝物的状态为sta,采用最优策略能够得到的最大期望价值。

转移时枚举j,表示第i个轮,掉下的是j号宝物。

但是会发现转移很难写,或者说根本写不了。为什么呢?下面就和大家来讨论一下。

写我为人人型——无法判断第i个宝物吃与不吃哪一个更优(因为推过去之后一个取的话是[i+1][sta|1<<(j-1)],不取的话是[i+1][sta],两者不一致)

写人人为我型——无法判断它是由哪一个状态转移过来的 (因为可能第i轮枚举到的j是唯一的一个j类型宝物,而也有可能是唯一的一个,所以很难分辨该从哪一种状态转移过来)

那么我们应该怎么做呢?——正着做怎么都不行,那就倒着来呗!

状态:f[i][sta]表示从第i轮到第k(总轮数),都取最优方案,而现在正处于第i-1回合,吃到宝物的状态为sta,能够得到的最大期望价值。

转移时枚举一个j表示在第i-1轮出现的宝物为j(下面的pre数组是由宝物j能够被选的前提物品01(二进制上第i位0/1表示第i件物品是/不是物品j的前提物品)状态压成的十进制数,w为价值)

条件:sta|pre[j]=pre[j]               转移:f[i][sta]=f[i][sta]+max(f[i+1,sta],f[i+1,sta|1<<(j-1)]+w[j])

条件:sta|pre[j]<>pre[j]             转移:f[i][sta]=f[i][sta]+f[i+1][sta]

其中f[i+1][sta|1<<(j-1)]表示第i-1轮吃宝物j,f[i+1][sta]表示第i-1轮不吃宝物j。

代码实现:

var
f:array[0..101,0..50000]of double;
pre,w:array[0..15]of longint;
x,k,n,i,sta,j:longint;
function max(a,b:double):double;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;
begin
read(k,n);
for i:=1 to n do
begin
read(w[i],x);
while x<>0 do
begin
pre[i]:=pre[i] or 1<<(x-1);
read(x);
end;
end;
for i:=k downto 1 do
for sta:=0 to 1<<n-1 do
for j:=1 to n do
if sta and pre[j]=pre[j] then
f[i,sta]:=f[i,sta]+max(f[i+1,sta]/n,(f[i+1,sta or 1<<(j-1)]+w[j])/n)
else
f[i,sta]:=f[i,sta]+f[i+1,sta]/n;
writeln(f[1,0]:0:6);
end.

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