不同的二叉搜索树

题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

二叉搜索树（Binary Search Tree）：又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

示例说明请见LeetCode官网。

来源：力扣（LeetCode）

链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

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解法一：递归法

• 首先，当n为0的时候，结果是一棵空树，直接返回空的list。
• 当n大于0的时候，使用递归的方法来分别获取左右子树，递归过程如下：
  • 所有节点都可以作为根节点，也就是遍历从1到n的所有值作为根节点，当前根节点为i；
  • 然后i左边的所有的值递归调用方法作为i的左子树；
  • i右边的所有的值递归调用方法作为i的右子树；
  • 最后把根节点i和相应的左右子树拼成一棵树，放到结果集中。
• 最后，返回结果集的size值即为符合条件的二叉搜索树的种数。

说明：该方法参照的 LeetCode-095-不同的二叉搜索树 II，不过在提交的时候超时了。

解法一：规律

找规律可知，当整数为n时，二叉搜索数的结果是前面所有可能的结果之和。

import com.kaesar.leetcode.TreeNode;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class LeetCode_096 {
    /**
     * 递归：该方法运行时超时了
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public static int numTrees(int n) {
        // 当n为0的时候，是一棵空树
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        return generateTrees(1, n).size();
    }

    private static List<TreeNode> generateTrees(int start, int end) {
        List<TreeNode> allTrees = new ArrayList<>();
        if (start > end) {
            allTrees.add(null);
            return allTrees;
        }
        for (int i = start; i <= end; i++) {
            // 所有可能的左子树集合
            List<TreeNode> leftTrees = generateTrees(start, i - 1);

            // 所有可能的右子树集合
            List<TreeNode> rightTrees = generateTrees(i + 1, end);

            for (TreeNode leftTree : leftTrees) {
                for (TreeNode rightTree : rightTrees) {
                    TreeNode root = new TreeNode(i);
                    root.left = leftTree;
                    root.right = rightTree;
                    allTrees.add(root);
                }
            }
        }
        return allTrees;
    }

    public static int numTrees2(int n) {
        int[] result = new int[n + 1];
        result[0] = 1;
        result[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                result[i] += result[j - 1] * result[i - j];
            }
        }
        return result[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(numTrees(3));
        System.out.println(numTrees2(3));
    }
}

【每日寄语】 年轻是本钱，但不努力就不值钱。