A. Lorenzo Von Matterhorn

B.Minimum spanning tree for each edge

C.Misha, Grisha and Underground

D.Fools and Roads

E.City Driving

题意：给你一颗基环树（有n条边，n个点的连通图），有Q个询问，求u，v之间的距离最小是多少

思路：对于一棵基环树而言，只要去掉其环上任意一条边(a , b)，其边权为w ，剩下的边就可以构成一棵树

　　　对于 u，v 之间的最小距离 ， 有可能由去掉的边(a , b)构成 ，也有可能不需要边(a , b)

　　　不需要L的情况

　　　　　　ans = dis(u , v)

　　　需要L的情况

　　　　　　ans = min(dis(u , a) + dis(v , b) + w , dis(v , a) + dis(u , b) ,w)

　　　两种情况取min即可。

dfs序+RMQ做法（这个做法虽然有点麻烦，但是查询时O(1)的）

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include

void init()
{
qx = qy = qv = ;
cnt = ;
num = ;
si = ;
mem(dp, );
mem(dis, );
mem(vis, );
mem(res, );
mem(pos, );
for (int i = ; i < maxn; ++i) G[i].clear();
}

int find(int x)
{
return x == f[x] ? f[x] : f[x] = find(f[x]);
}
void bset(int x, int y)
{
int fx = find(x), fy = find(y);
f[fx] = fy;
}
void dfs(int u, int dist)
{
vis[u] = ;
dis[u] = dist;
pos[u] = cnt;
res[si] = u;
dp[][cnt++] = si++;
for (int i = ; i < G[u].size(); ++i)
{
int j = G[u][i].y;
if (!vis[j])
{
dfs(j, dist + G[u][i].v);
dp[][cnt++] = dp[][pos[u]];
}
}
}

void RMQ()
{
for (int i = ; ( << i) <= n; ++i) { for (int j = n - ; j >= ; --j)
{
int k = ( << (i - ));
dp[i][j] = dp[i - ][j];
if (k + j < n)
{
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - ][j + k]);
}
}
}
}

int cal(int i, int j)
{
if (i < j) swap(i, j);
int k = ;
while (( << k) <= (i - j + ))
++k;
--k;
k = min(dp[k][j], dp[k][i - ( << k) + ]);
return res[k];
}

int Dis(int u, int v)
{
int k = cal(pos[u], pos[v]);
return dis[u] + dis[v] - dis[k] * ;
}

int main()
{
while (scanf("%d", &n) != EOF)
{
if (n == ) break;
init();
for (int i = ; i <= n; ++i) f[i] = i;
for (int i = ; i <= n; ++i)
{
int x, y, v;
scanf("%d %d %d", &x, &y, &v);
x++, y++;
int fx = find(x), fy = find(y);
if (fx == fy)
{
qx = x, qy = y, qv = v;
continue;
}
bset(x, y);
G[x].push_back(node(y, v));
G[y].push_back(node(x, v));
}
for (int i = ; i <= n; ++i)
{
if (!vis[i])
dfs(i, );
}
n = n * - ;
RMQ();
int q;
scanf("%d", &q);
while (q--)
{
int x, y;
scanf("%d %d", &x, &y);
x++, y++;
int ans = Dis(x, y);
ans = min(ans, Dis(x, qx) + Dis(y, qy) + qv);
ans = min(ans, Dis(x, qy) + Dis(y, qx) + qv);
printf("%d\n", ans);
}

}  
return ;  

}

/*

7
0 1 2
0 2 3
1 3 2
2 3 8
2 4 3
3 5 1
1 6 7
3
4 5
0 6
1 2
0

*/

F.Tree chain problem

题意：给你一颗由n个点构成的树，在给你m条链，让你选择一些不相交的链，使得权值最大

思路：用dp[i]记录以i为根节点的子树的权值最大值 ， sum[i] 表示点 i 的所有儿子的dp值的和

　　　考虑到动态规划的无后效性，因此给我们的链我们尽在lca(u , v)处考虑拿或不拿(u , v  为其中一条链的端点)

　　　这一点的状态dp[i] ，仅有两种状况

　　　　　　不取 lca(u , v) = i 的这条链

　　　　　　　　dp[i] = sum[i]

　　　　　　取 lca(u , v) = i 的这条链

　　　　　　　　dp[i] = ( sum[i] + ∑  (sum[vi] - dp[vi]) + w )  vi 为链上的每一个节点

　　　　　　因为需要取 lca(u , v) = i 的这条链 因此 vi 点不能取其他的链， 因为题目要求链之间不相交

　　　　为了快速计算  ∑  (sum[vi] - dp[vi]) ，用 dfs序 和  树状数组 来维护 ∑  (sum[vi] - dp[vi])  的前缀和

　　　　当我们求 ∑  (sum[vi] - dp[vi]) 只需要在 i 节点加入 树状数组前 查询 区间[1 , u]  + 区间[1 , v] 的和

#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn = ;
const int maxb = ;

struct Node {
int u, v, w;
Node(int u, int v, int w) :u(u), v(v), w(w) {}
};

int n, m;
vector que[maxn];
vector G[maxn];
int lca[maxn][maxb], in[maxn], out[maxn], dep[maxn], dfs_cnt;
int sumv[maxn];// 树状数组
int dp[maxn], sum[maxn];

//计算dfs序，in，out;预处理每个顶点的祖先lca[i][j],表示i上面第2^j个祖先，lca[i][0]表示父亲
void dfs(int u, int fa, int d) {
in[u] = ++dfs_cnt; // 获取每个点进入的时间
lca[u][] = fa; dep[u] = d;
for (int j = ; j < maxb; j++) {
int f = lca[u][j - ];
lca[u][j] = lca[f][j - ];
}
for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i];
if (v == fa) continue;
dfs(v, u, d + );
}
out[u] = ++dfs_cnt; // 获取每个点出去的时间
}

// 倍增法在线求lca ，o(n*logn)预处理+o(logn)询问
int Lca(int u, int v) {
if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v); //二进制倍增法，u,v提到相同高度 for (int i = maxb - ; i >= ; i--) {
if (dep[lca[u][i]] >= dep[v]) u = lca[u][i];
}
//当lca为u或者为v的时候
if (u == v) return u;
//lca不是u也不是v的情况
//一起往上提
for (int i = maxb - ; i >= ; i--) {
if (lca[u][i] != lca[v][i]) {
u = lca[u][i];
v = lca[v][i];
}
}
return lca[u][];
}

//因为需要求出区间[in[u] , out[u]]上的(sum[i] - dp[i])的和 , 用树状数组维护

int get_sum(int x) {
int ret = ;
while (x > ) {
ret += sumv[x];
x -= x & (-x);
}
return ret;
}

void add(int x, int v) {
while (x < maxn) {
sumv[x] += v;
x += x & (-x);
}
}

//树形dp(用到dfs序和树状数组来快速计算链)

void solve(int u, int fa) {
for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i];
if (v == fa) continue;
solve(v, u);
sum[u] += dp[v];
}
dp[u] = sum[u]; // 先将dp[u]处理为不选择以u为lca的链
for (int i = ; i < que[u].size(); i++) {
Node nd = que[u][i];
//get_sum(in[nd.u])处理的是lca(u,v)到u点这条路径的所有顶点
//get_sum(in[nd.v])处理的是lca(u,v)到v点这条路径的所有顶点
dp[u] = max(dp[u], sum[u] + get_sum(in[nd.u]) + get_sum(in[nd.v]) + nd.w);
}
add(in[u], sum[u] - dp[u]);
add(out[u], dp[u] - sum[u]);
}

void init() {
dfs_cnt = ;
for (int i = ; i <= n; i++) G[i].clear();
for (int i = ; i <= n; i++) que[i].clear();
memset(lca, , sizeof(lca));
memset(sumv, , sizeof(sumv));
memset(sum, , sizeof(sum));
memset(dp, , sizeof(dp));
}

int main() {
int tc;
scanf("%d", &tc);
while (tc--) {
scanf("%d%d", &n, &m);
init();
for (int i = ; i < n; i++) {
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs(, , );
while (m--) {
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
//每条链在Lca的位置上处理，这样符合dp的无后效性
que[Lca(u, v)].push_back(Node(u, v, w));
}
solve(, );
printf("%d\n", dp[]);
}
for (int i = ; i <= n; ++i)
{
printf("%d ", dp[i]);
}
printf("\n");
for (int i = ; i <= n; ++i)
{
printf("%d ", sum[i]);
}
printf("\n");
return ;
}