题意

\(Bob\)想解决一个问题：一个\(n\cdot m\)的矩阵，从\((1,1)\)出发，只能走右和下，问从\((1,1)\)到\((n,m)\)的最大\(\&\)和

他的算法如下(\(C++\))

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][1] = a[1][1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] & a[i][j], dp[i][j - 1] & a[i][j]);
        }
    }
    cout << dp[n][m];

已知他的算法并不能得到最大的\(\&\)和

给定一个\(k\)，请构造出一个\(n\cdot m\)的矩阵，使得最大\(\&\)和比他的代码得出的答案大\(k\)

\(1\leq n,m\leq 500\)

\(0\leq a_{i,j}\leq 3\cdot 10^5\)

\(0\leq k\leq 10^5\)

分析

既然要针对\(Bob\)的算法进行构造，那么肯定要知道他的算法错在哪里（知己知彼，百战百胜）

我们将第二个样例的矩阵作为输入，得到\(Bob\)的答案 ，发现是\(2\)，在答案路径中，\((3,4)\)前的节点是\((3,3)\)

我们输出\(dp[3][3]\)发现是\(4\)，但是在答案路径中，走到\((3,3)\)时是\(3\)，大概清楚了\(\&\)和并不能进行贪心

且可以模仿样例在答案路径中放入一个另一个更大的\(\&\)值

我们考虑能否直接构造矩阵使得答案是\(k\)，使得\(Bob\)的代码得到\(0\)

首先考虑二维矩阵，发现\((2,2)\)是的确是挑最大的\(\&\)和，无法构造

我们看到第二个样例是\(3\cdot 4\)的矩阵，我们考虑能否构造出一个\(2\*3\)的矩阵

考虑设计两个路径

• \((1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,3)\)
• \((1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)\)

通过样例得到灵感，第二条路径得到的\((2,2)\)中的答案比第一条路径中大，但是不满足条件

那么思考如果&\(要大，不妨在\)k\(的二进制前面加上一个\)'1'\(，如果第二条路径要大，可以在\)k\(取反后前面在加一个\)'1'$

我们直接设计\(a[2][3]=k\)，我们看数据范围看到\(a[i][j]\)的最大值可以为\(3\cdot k\)，考虑如下构造：

将\(k\)变为\(2\)进制，设字符串为\(s\)，将其各位取反得到字符串\(s1\)

构造\(2\cdot 3\)矩阵：

\(('1'+s)\) \((s)\) \((0)\)

\(('1'+s1)\) \(('1'+s)\) \((s)\)

然后将其转换为十进制即可

路径一我们可以直接忽略\(s\)前面的\(1\)直接得到答案\(k\)

路径二我们发现走到\((2,2)\)时，答案是\(s\)前面的\(1\)，那么这个和\((2,3)\)的值\(\&\)一定是\(0\)

取反也可以用^，但写代码时没考虑那么多

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")

#include <bits/stdc++.h>

#define start ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define ls st<<1
#define rs st<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define rep(z, x, y) for(int z=x;z<=y;++z)
#define com bool operator<(const node &b)
using namespace std;
const int maxn = (ll) 3e5 + 5;
const int mod = 998244353;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int k;
int a[30];

signed main() {
    start;
    cout << 2 << ' ' << 3 << '\n';
    cin >> k;
    int maxx = 0;
    for (int i = 0; i < 30; ++i) {
        if (k & (1 << i))
            a[i] = 1, maxx = i;
        else
            a[i] = 0;
    }
    cout << k + (1 << (maxx + 1)) << ' ' << k << ' ' << 0 << '\n';
    int ans = (1 << (maxx + 1));
    for (int i = maxx; i >= 0; --i) {
        if (!a[i])
            ans += (1 << i);
    }
    cout << ans << ' ' << k + (1 << (maxx + 1));
    cout << ' ';
    cout << k;
    return 0;
}

废话好多，构造还是思路重要，所以大部分篇幅都用来讲思路