SHOI2005 树的双中心

给树 \(T=(V,E)(|V|=n)\)，树高为 \(h\)，\(w_u(u\in V)\)。求 \(x\in V,y\in V:\left(\sum_{u\in V}w_u\cdot \min(dis_{u,x},dis_{u,y})\right)_{\min}\)。

数据范围：\(1\le n\le 50000\)，\(1\le h\le 100\)。

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一眼思路：把 \(T\) 由一条边砍成 \(T_1,T_2\)，\(x\) 为 \(T_1\) 重心，\(y\) 为 \(T_2\) 重心。

所以可以暴力枚举那条断边，然后找两棵树重心，合并答案。

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先问个问题：一棵带点权的树怎么找重心？

即 洛谷P1364 医院设置。

带点权树的重心 \(x\) 满足 \(f_x=\sum_{u\in V}w_u\cdot dis_{u,x}\) 最小。

暂定 \(1\) 为根，记录 \(sz_i\) 表示节点 \(i\) 的子树的权值 \(w\) 和。

所以 \(f_1=\sum_{u\in V}w_u\cdot (dep_u-dep_1)\)。

\[v\in son_u:f_v=f_u+(sz_1-sz_v)-sz_v
\]

这是换根 \(\tt dp\)。“重心”往下挪，上面的节点要多走一步，下面的节点少走一步。

然后 \(f_i\) 最小的 \(i\) 就是重心。

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这题也用到了类似的思想：

令 \(g_i=\sum_{u\in subtree_i}w_u\cdot dis_{u,i}\)，很明显上文的 \(f_1=g_1\)。

\[\therefore g_u=\sum_{v\in son_u}g_v+sz_v
\]

很明显吧，每个子节点答案加再走一条边的贡献。

令 \(sf_i\) 为 \(i\) 的子树最大子节点，\(sc_i\) 为 \(i\) 的子树次大子节点。

设断边为 \((a,b)\)，其中 \(dep_b>dep_a\)。

同样令 \(1\) 为根，同样维护 \(sz_i\)。

所以 \(T_1\) 的根为 \(1\)，\(T_2\) 的根为 \(b\)。

\(\Theta(h)\) 让 \(sz_i\) 变为 \(T_1,T_2\) 内的子树权值和：

\(\forall p\in ancestor_b:sz_p-=sz_b\)

设 \(now_1=\sum_{u\in V_1}w_u\cdot dis_{u,1}=g_1-g_b-sz_b(dep_b-dep_1),now_2=\sum_{u\in V_2}w_u\cdot dis_{u,b}=g_b\)

\(T_1,T_2\) 中的节点 \(i\) 子树最大子节点必为原 \(sf_i,sc_i\) 中的一个。

再看看上面的式子：

\[v\in son_u:f_v=f_u+(sz_{rt}-sz_v)-sz_v
\]

所以 \(f_v<f_u\) 当 \(sz_{rt}<2sz_v\)。

可以从各自的根节点出发，摸着最大子树子节点找 \(T_1,T_2\) 的重心，答案可以由上面的 \(now\) 递推。

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时间复杂度 \(\Theta(nh)\)。

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• 代码

上面的内容看不懂就算了，读读这代码吧。。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define b(a) a.begin()
#define e(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=5e4;
int n,w[N+7];
vector<int> e[N+7];

//TreeDP
int dep[N+7],sz[N+7],fa[N+7],f[N+7],sf[N+7],sc[N+7];
void Dfs1(int u){
    sz[u]=w[u],dep[u]=dep[fa[u]]+1;
    for(int&v:e[u])if(v!=fa[u]){
        fa[v]=u,Dfs1(v),sz[u]+=sz[v],f[u]+=f[v]+sz[v]; //f就是g
        if(sz[v]>sz[sf[u]]) sc[u]=sf[u],sf[u]=v;
        else if(sz[v]>sz[sc[u]]) sc[u]=v;
    }
}
int cut;
void Dfs2(int u,int now,int sm,int&res){
    res=min(res,now);
    int v=(sf[u]==cut||sz[sc[u]]>sz[sf[u]])?sc[u]:sf[u]; //v为u最大子树子节点
    if(v&&2*sz[v]>sm) Dfs2(v,now+sm-2*sz[v],sm,res);
}
void Dfs3(int u,int&res){
    for(int&v:e[u])if(v!=fa[u]){
        cut=v;
        int up=inf,down=inf;
        for(int p=u;p;p=fa[p]) sz[p]-=sz[v];
        Dfs2(1,f[1]-f[v]-(dep[v]-dep[1])*sz[v],sz[1],up);
        Dfs2(v,f[v],sz[v],down);
        res=min(res,up+down);
        for(int p=u;p;p=fa[p]) sz[p]+=sz[v]; //回溯
        Dfs3(v,res);
    }
}

//Main
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,u,v;i<=n-1;i++) scanf("%d%d",&u,&v),e[u].pb(v),e[v].pb(u);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    int ans=inf; Dfs1(1),Dfs3(1,ans),printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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祝大家学习愉快！