Lyndon Word

对于字符串 \(S\)，若 \(S\) 的最小后缀为其本身，那么称 \(S\) 为 \(\text{Lyndon}\) 串（\(\text{Lyndon Word}\)）

即

\[S \in L \Rightarrow \begin{cases} S是严格最小循环 \\ minsuf(s)=s \end{cases}
\]

\(Border(S)=\varnothing\)

如果 \(u,v \in L, u \prec v\Rightarrow uv \in L\)。

\(\mathcal{Proof.}\)

\(1) s=u'v,u\triangleleft u' \Rightarrow uv < u'v\)

\(2) \text{to prove uv<v}\)

​ \(2.1) u \triangleleft v \Rightarrow uv<v\)

​ \(2.2) u \sqsubseteq v \Rightarrow v=uv',v<v' \Leftrightarrow uv<uv' \Leftrightarrow uv<v\)

\(3) S=v',uv<v<v'\)

\(Q.E.D.\)

PS： \(\triangleleft\)：严格小于，且不是前缀，必有一个字母不同，\(\sqsubseteq\)：前缀

\(ex.\) 如果 \(u,v\in L,u<v \Rightarrow u^av^b\in L\)

显然。

Lyndon 分解 (Lyndon Factorization)

任意字符串 \(s\) 可以分解为 \(s=s_1s_2s_3\dots s_k\)，其中 \(s_i\) 是 \(\text{Lyndon}\) 串，\(s_i \ge s_{i+1}\)，且这种分解方法是唯一的。

\(\mathcal{Proof.}\)

先证存在性：

初始时每段一个字符，然后不断地将相邻两段 \(s_i<s_{i+1}\) 合并。

再证唯一性：

若有两种方案，取第一次不同的位置，设 \(|s_i| > |s_i'|\)，令 \(s_i=s_i's_{i+1}' \dots s_k'pre(s_{k+1}',l)\)，则

\[s_i<pre(s_{k+1}',l)\le s_{k+1}' \le s_i' < s_i,矛盾
\]

1. \(s_k\) 是最长的 \(\text{Lyndon suffix}\)
2. \(s_1\) 是最长的 \(\text{Lyndon prefix}\)
3. \(s_k=minsuf(s)\)

\(\mathcal{Proof.}\)

画图比划一下，容易（是真的）证得。

\(\text{Duval}\) 算法可以 \(O(n)\) 时间 \(O(1)\) 额外空间内求出 \(s[1\dots n]\) 的 \(\text{Lyndon}\) 分解。

即

\[CFL(s)=s_1 s_2 \dots s_k, s.t. \begin{cases} 1. s_i \in L \\ 2. s_1 \ge s_2 \ge \dots \ge s_k\end{cases}
\]

\(\mathcal{Lemma.}\)

若字符串 \(v\) 和字符 \(c\) 满足 \(vc\) 是某个 \(\text{Lyndon}\) 串的前缀，则对于字符 \(d>c\) 有 \(vd\) 是\(\text{Lyndon}\) 串。

也就是说，如果 \(uav \in L\)，那么对于 \((uav)^kua'\)：

1. 如果 \(a<a'\)，那么 \((uav)^kua' \in L\)

2. 如果 \(a>a'\)，那么 \(\forall w,(uav)^kua'w \notin L\)

   \(\Rightarrow CFL[(uav)^kua'w]=(uav)^kCFL(ua'w)\)

因此，我们考虑下面这个算法过程：

用三个循环变量 \(i,j,k\) 维持一个循环不变式：

• \(s[1 \dots i-1] = s_1 s_2 \cdots s_g\) 是已经固定下来的分解，满足 \(s_l\) 是 \(\text{Lyndon}\) 串，且 \(s_l \le s_{l+1}\)。
• \(j-i\) 是当前最长的 \(\text{Lyndon prefix}\) 的长度，即 \(s[j]\) 是 \(s[k]\) 在 \(\text{Lyndon Prefix}\) 中对应位置的字符。
• \(k\) 是当前读入的字符的位置。

然后对于当前读入的字符 \(a\)

• 若 \(a>s[j]\)，则令直接令 \(s[i\dots k]\) 成为新的 \(\text{Lyndon Prefix}\)
• 若 \(a=s[j]\)，无法切割出新的划分，继续读入
• 若 \(a<s[j]\)，则递归求解，先分解完 \(s[i\dots t]\) ，即 \((uav)^k\)，然后将指针指向 \(t+1\) 重新进行算法过程。

Code

int i, j, k;
for (i = 1; i <= N; ) {
    for (k = i, j = k + 1; j <= N && s[j] >= s[k]; ++j) {
        if (s[j] > s[k]) k = i;
        else ++k;
    }
    while (i <= k) { lyndon[++cnt] = i + j - k - 1; i += j - k; }
}

"Runs" Theorem

先丢一个论文链接：The" Runs" Theorem

Lyndon Array

再说。

[ZJOI2017] 字符串

维护一个动态字符串 \(s[1\dots n]\)，字符串的字符集是所有 \(|x|\le 10^9\) 的整数。要求支持两个操作：

1. 输入 \(l,r,d\)，对于所有 \(l\le i \le r\)，将 \(s[i]\) 修改为 \(s[i]+d\)，注意 \(d\) 可能是负数。
2. 输入 \(l,r\)，输出子串 s\([l\dots r]\) 的字典序最小的后缀的起点位置。即，如果最小后缀是 \(s[p\dots r],(l\le p\le r)\)，请输出 \(p\)。