经过一些改进，第二章中的用于CCM稳态分析的相同技术和近似方法可以应用于DCM。

(a)电感伏秒平衡。电感电压直流分量必须为0：

\[=\frac{1}{T_{s}} \int _{0} ^{T_{s}} v_{L}(t)dt = 0 \tag{5.9}
\]

(b)电容电荷平衡。电容电流直流分量必须为0：

\[= \frac{1}{T_{s}} \int _{0} ^{T_{s}} i_{C}(t)dt=0 \tag{5.10}
\]

这些原则必须适用于任何稳态运行的电路，无论其运行模式如何。

(c)线性纹波近似，在DCM中使用必须要注意。

(i)输出电容电压纹波。无论工作模式如何，输出电压纹波都必须很小。因此，对于在DCM下工作的设计良好的变换器，峰值输出电压纹波的幅值\(\Delta v\)应该比输出电压直流分量\(V\)小的多。因此，线性纹波近似适用于输出电压波形：

\[v(t)\approx V \tag{5.11}
\]

(ii)电感电流纹波。根据定义，电感电流纹波在DCM中并不小。实际上，式(5.3)指出电感电流纹波\(\Delta i_{L}\)大于直流分量\(I\)。因此，忽略电感电流纹波会导致不准确的结果。在其他变换器中，具有较大开关纹波的电感电流和电容电压纹波都不能直接忽略。

通过对电路网络中的每个电感电压伏秒平衡和电容的电荷平衡，可以获得求解电压变换比所需的方程。输出电容电压的纹波可以被忽略，但在Buck变换器中电感电流的纹波必须要被考虑。

让我们来分析式(5.1)(应该是Fig 5.1)的Buck变换器的电压变比\(M=V/V_{g}\)。当\(0<t<D_{1}T_{s}\)时，晶体管导通，电路退化为图5.7(a)所示。电感电压和电容电流为：

\[v_{L}(t)=V_{g}-v(t) \\
i_{C}(t)=i_{L}(t)-\frac{v(t)}{R} \tag{5.12}
\]

Fig 5.7 Buck converter circuits for operation in the DCM: (a)during subinterval 1,(b)during subinterval 2,(3)during subinterval 3.

通过线性纹波近似，忽略输出电容电压的纹波，可以得到：

\[v_{L}(t) \approx V_{g}-V \\
i_{C}(t) \approx i_{L}(t) -\frac{V}{R} \tag{5.13}
\]

注意，电感电流纹波并没有被忽略。

二极管在第二个区间内导通，\(D_{1}T_{s}<t<(D_{1}+D_{2})T_{s}\)。然后，电路退化为图5.7(b)所示。电感电压和电容电流为：

\[v_{L}(t)=-v_{t} \\
i_{C}(t)=i_{L}(t)-\frac{v(t)}{R} \tag{5.14}
\]

忽略输出电容电压的纹波得到：

\[v_{L}(t)=-V \\
i_{C}(t)=i_{L}(t)-\frac{V}{R} \tag{5.15}
\]

在\(t=(D_{1}+D_{2})T_{s}\)时，二极管开始反偏。此时电路如图5.7(c)所示，晶体管和二极管都处于关断状态。在区间\((D_{1}+D_{2})T_{S}<t<T_{s}\)内，电感电压和电感电流都是0。第三个区间电路方程为：

\[v_{L}=0,i_{L}=0 \\
i_{C}(t)=i_{L}(t)-\frac{v(t)}{R} \tag{5.16}
\]

注意到，第三个间隔时间内，电感电流恒定并等于0，因此根据\(v_{L}(t)=Ldi_{L}(t)/dt\)，电感电压也必须为0。实际上，这个子间隔区间内会观察到寄生振铃的发生。这种振铃是由电感和半导体器件电容形成的谐振电路引起的，通常对变换器的稳态特性影响很小。这里忽略输出电容电压纹波，可得到：

\[v_{L}(t)=0 \\
i_{C}(t)=-\frac{V}{R} \tag{5.17}
\]

式(5.13),(5.15)和(5.17)可以用来绘制如图5.8所示的电感电压波形图。根据电感伏秒平衡原理，这个波形的直流分量（平均值）必须为0。由于波形是矩形，其直流分量容易计算：

\[=D_{1}(V_{g}-V)+D_{2}(-V)+D_{3}(0)=0 \tag{5.18}
\]

由此求出输出电压：

\[V=V_{g} \frac{D_{1}}{D_{1}+D_{2}} \tag{5.19}
\]

晶体管占空比\(D\)(与子区间1占空比\(D_{1}\)一致)是变换器的控制输入，可以认为是已知量。但是子区间2的占空比\(D_{2}\)是未知的，因此需要另一个等式来消除\(D_{2}\)，求解输出电压\(V\)。

Fig 5.8 Inductor voltage waveform \(v_{L}(t)\), buck converter operating in DCM.

第二个公式是通过电容电压平衡获得的。电容与其相邻元件的连接如图5.9所示，该电路的节点方程为：

\[i_{L}(t)=i_{C}(t)+\frac{v(t)}{R} \tag{5.20}
\]

Fig 5.9 Connection of the output capacitor to adjacent components

根据电容电荷平衡，电容电流的直流分量必须为0:

\[=0 \tag{5.21}
\]

因此，直流负载电流必须由连接到该节点的其他元件提供，特别是对于buck变换器，电感电流的直流分量必须等于直流负载电流：

\[=\frac{V}{R} \tag{5.22}
\]

所以，我们需要计算电感电流的直流分量。

由于电感电流的纹波并不算很小，所以要确定电感电流的直流分量需要我们详细观察电流的波形。电感电流波形如图5.10所示。电流的开关周期以0开始，并在第一个子间隔区间内以恒定的斜率增加，斜率由外加电压除以电感得到。峰值的电感电流\(i_{pk}\)等于恒定斜率乘以第一个子间隔的长度。

\[i_{L}(D_{1}T_{s})=i_{pk}=\frac{V_{g}-V}{L} D_{1}T_{s} \tag{5.23}
\]

电感电流的直流分量为平均值：

\[= \frac{1}{T_{s}} \int _{0} ^{T_{s}} i_{L}(t)dt \tag{5.24}
\]

Fig 5.10 Inductor current waveform \(i_{L}(t)\), buck converter operating in discontinuous mode.

电感电流的积分或者说\(i_{L}(t)\)曲线下的面积就是高度为\(i_{pk}\)和底边尺寸为\((D_{1}+D_{2})T_{s}\)的三角形的面积。根据三角形面积公式可得到：

\[\int _{0} ^{T_{s}} i_{L}(t)dt= \frac{1}{2} i_{pk}(D_{1}+D_{2})T_{s} \tag{5.25}
\]

公式5.23和5.25代入式5.24可得：

\[=(V_{g}-V)(\frac{D_{1}T_{s}}{2L})(D_{1}+D_{2}) \tag{5.26}
\]

最后，上述结果与式5.22的直流负载电流相等，我们可以得到：

\[\frac{V}{R}=\frac{D_{1}T_{s}}{2L} (D_{1}+D_{2})(V_{g}-V) \tag{5.27}
\]

因此，我们可以得到两个未知数\(V\)和\(D_{2}\)和两个方程。第一个方程5.19由电感伏秒平衡得到，第二个方程5.27由电容电荷平衡得到。从这两个方程中消除\(D_{2}\)，求解出电压变换比\(M(D_{1},K)=V/V_{g}\)，得到：

\[\frac{V}{V_{g}}=\frac{2}{1+\sqrt{1+\cfrac{4K}{D_{1}^{2}}}} \tag{5.28} \\where\ K=2L/(RT_{s}) \\valid\ for\ K<K_{crit}
\]

这就是buck变换器工作在DCM下的电压变化公式。

因此，完整的buck变换器特性（包括CCM和DCM）为：

\[M= \begin{cases}D\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ for\ K>K_{crit} \\\cfrac{2}{1+\sqrt{1+\cfrac{4K}{D^{2}}}} for\ K<K_{crit} \\\end{cases} \tag{5.29}
\]

其中晶体管占空比\(D\)等于上述推导的子间隔区间1占空比\(D_{1}\)。在图5.11中针对特定的几个\(K\)值绘制了其曲线。可以看到，DCM调制可以使输出电压增加。当\(K\)趋于零时（空载情况），对于所有的非零占空比\(D\)，\(M\)趋近于1。根据式5.28在模式边界处\(M=D\)与CCM特性相交。

Fig 5.11 Voltage conversion ratio \(M(D,K)\)，buck converter