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给定 n 点 m 边简单有向图，有边权。

q 次询问，每次给出 xi。可以增加某些边的边权，要求总增加量小于等于 xi，最大化点 1 到点 n 的最短路。

原题链接。

可以去看看dls表演如何正确切这道题：读完题发现是原题，找题解读了一遍，过了。

设答案的下界为 \(D\)，边权增长量为 \(a_{u, v}\)，最短路为 \(d_i\)。

可以根据最短路的三角不等式列出如下线性规划式：

\[\min\{\sum_{(u,v)\in E}a_{u,v}\} \\
\begin{cases}
d_u - d_v+a_{u, v}\geq -w_{u,v} \\
d_n - d_1\geq D \\
d_i\geq 0, a_{u,v} \geq 0
\end{cases}
\]

如果目标函数 \(\leq x_i\)，则 \(D\) 是一个合法的下界。

考虑它的对偶问题：

\[\max\{D\times f-\sum_{(u,v)\in E}w_{u,v}\times b_{u,v}\} \\
\begin{cases}
\sum_{i}b_{u,i}-\sum_{i}b_{i,u}\leq 0 & u\not=1,n \\
\sum_{i}b_{1,i}-\sum_{i}b_{i,1}-f\leq 0 \\
\sum_{i}b_{n,i}-\sum_{i}b_{i,n}+f\leq 0 \\
0\leq b_{u,v}\leq 1,0\leq f

\end{cases}
\]

注意到这个约束条件长得很像 “流量守恒” + “容量限制”。

事实上，这就是网络流的线性规划式（引用 freopen 的一句话：在一个图中，每个点入度 ≤ 出度即可构成入度 = 出度）。其中 \(1\) 为源点，\(n\) 为汇点，\(f\) 为整个网络的流量。

记 \(c = \sum w_{u,v}\times b_{u,v}\)，则已知 \(f\) 时我们需要最小化 \(c\)。跑最小费用流即可。

由于 \(D\times f-c\leq x_i\)，可以得到 \(D\leq\frac{x_i+c}{f}\)。

注意到二元组 \((f,c)\) 只有 \(O(n)\) 个，每次增广单位流量可以找到所有的二元组。

于是可以 \(O(n)\) 处理一次询问（也可以处理出凸包 + 二分 \(O(\log)\) 处理一次询问）。

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还有另一种转化问题的方法：

一样地设下界为 \(D\)，边权增长量为 \(a_i\)。考虑 1 -> n 的所有路径 \(L_p\)，有线性规划式：

\[\min\{\sum_{(u,v)\in E}a_{u,v}\leq x_i\} \\
\begin{cases}
\sum_{(u,v)\in L_p}(w_{u,v}+a_{u,v})\geq D\\
a_{u,v}\geq 0
\end{cases}
\]

对偶：

\[\max\{\sum_{p}y_p\times(D - \sum_{(u,v)\in L_p} w_{u,v})\} \\
\begin{cases}
\sum y_p \leq 1 & (u, v)\in L_p \\
y_p \geq 0
\end{cases}
\]

可以看成选 \(k\) 条路径，每条边只能被一条路径经过，最小化 \(\sum_{p}y_p\times\sum_{(u,v)\in L_p} w_{u,v}\)。

这一步以后的过程就和上面的推导是一样的。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
#define pr make_pair
#define fi first
#define se second

namespace fgraph{
    const int MAXV = 50;
    const int MAXE = 10*MAXV*MAXV;
    const int INF = (1 << 30);

    struct edge{
        int to, cap, flow, cost;
        edge *nxt, *rev;
    }edges[MAXE + 5], *adj[MAXV + 5], *cur[MAXV + 5], *ecnt = edges;
    void addedge(int u, int v, int c, int w) {
        edge *p = (++ecnt), *q = (++ecnt);
        (*p) = (edge){v, c, 0, w, adj[u], q}, adj[u] = p;
        (*q) = (edge){u, 0, 0, -w, adj[v], p}, adj[v] = q;
    }
    int d[MAXV + 5], h[MAXV + 5], s, t;
    bool relabel() {
        for(int i=s;i<=t;i++)
            h[i] += d[i], d[i] = INF, cur[i] = adj[i];
        priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> >que;
        que.push(pr(d[t] = 0, t));
        while( !que.empty() ) {
            int k = que.top().fi, x = que.top().se; que.pop();
            if( k != d[x] ) continue;
            for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) {
                if( p->rev->cap > p->rev->flow ) {
                    int dis = k + p->rev->cost + (h[x] - h[p->to]);
                    if( dis < d[p->to] ) que.push(pr(d[p->to] = dis, p->to));
                }
            }
        }
        return d[s] != INF;
    }
    bool vis[MAXV + 5];
    int aug(int x, int tot) {
        if( x == t ) return tot;
        vis[x] = true; int sum = 0;
        for(edge *&p=cur[x];p;p=p->nxt) {
            int dis = d[p->to] + p->cost + (h[p->to] - h[x]);
            if( d[x] == dis && !vis[p->to] && p->cap > p->flow ) {
                int del = aug(p->to, min(tot - sum, p->cap - p->flow));
                sum += del, p->flow += del, p->rev->flow -= del;
                if( sum == tot ) break;
            }
        }
        vis[x] = false; return sum;
    }
}

int f[55];
int main() {
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int u, v, w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        fgraph::addedge(u, v, 1, w);
    }
    int cnt = 0;
    fgraph::s = 1, fgraph::t = n;
    for(cnt = 0;fgraph::relabel();cnt++)
        f[cnt + 1] = f[cnt] + fgraph::d[1] + fgraph::h[1], fgraph::aug(1, 1);

    int q; scanf("%d", &q);
    for(int i=1;i<=q;i++) {
        int x; scanf("%d", &x);

        double ans = 1E12;
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            ans = min(ans, 1.0*(x + f[j])/j);

        printf("%.9f\n", ans);
    }
}

有如下形式的线性规划式，一般都可以对偶成费用流（据说叫作 LP 对偶费用流），如loj6511「雅礼集训 2018 Day8」B ：

\[\min\{\sum_{(u,v)\in E}c_{u,v}\times x_{u,v}\} \\
\begin{cases}
\phi_u - \phi_v+x_{u, v}\geq w_{u,v} \\
\phi_i\geq 0, x_{u,v} \geq 0
\end{cases}
\]