题目

城市中有一条长度为 \(n\) 的道路，每隔 \(1\) 的长度有一个公交车站，编号从 \(0\) 到 \(n\)，学校在 \(0\) 号车站的位置。其中每个公交车站(除了 \(n\) 号车站)有两个属性 \(c_i\) 和 \(v_i\)，代表从这个公交车站出发的公交车的性质。\(c_i\) 代表这个从i出发的公交车，相邻两个停靠站之间的距离。\(v_i\) 表示每坐 \(1\) 站的花费。

注意，一辆公交车出发后会向 \(n\) 号车站的方向行进。同时，一名乘客只能从起点站上车，但可以从任意停靠站下车。校庆志愿者小 \(Z\) 为了帮助校友查询有关城市交通费用的问题，想知道从 \(0\) 号车站(也就是学校)出发，到达每个公交车站的最小花费，于是他找到了你。

数据规模

对于 30% 的数据满足，\(1 \le n \le 5000\)

对于 60% 的数据满足，\(1 \le n \le 10^5\)

对于另 20% 的数据满足，\(maxc = 1\)

对于 100% 的数据满足，\(1 \le n \le 10^6,1 \le maxc \le 10,1 \le ci \le maxc,1 \le vi \le 1000\)

数据存在梯度。

分析

我们试着想 \(O(n^2)\) 的 \(dp\)

有 \(f_i = \min_{1 \le j < i,c_j | (i-j)}f_j + (i-j)/c_j*v_j\)

既然有 \(maxc = 1\) 说明所有的 \(c_j=1\)

也就是说我们从 \(0\) 点开始坐车，一遇到 \(v_i\) 更小的就可以换乘，必然更优

\(O(n)\) 扫一遍就好了

考虑继续优化 \(dp\)

很明显只能上斜率优化了！

很明显用不了斜率优化！

观察 \(f_i = f_j+ (i-j)/c_j*v_j\)

若需 \(c_j|(i-j)\)，那么 \(i \equiv j \pmod {c_j}\)

所以我们要维护 \(i\) 的决策集合

只要 \(c_i\) 和 \(i \bmod {c_i}\) 两样东西就可以确定了

那我们就维护 \(maxc \times maxc\) 个决策集合

选用 \(vector\) 类型就好，我选择了链式前向星

然后怎么找最优决策？

我们先从题目中找性质

两站同属一个决策集合

如过后一个站的 \(v_i\) 小于 前一个站 \(v_i\)， 前一个站就没有用了

然后我们就有了 \(v_i\) 单调递增

因为同属一个集合，\(c_i=c_j\) 所以 \(v_i/c_i\) 单调递增

记 \(p_i = v_i / c_i\)

那么 \(f_i = f_j+(i-j)*p_i\)

此时考虑斜率优化

若 \(j < k\) 且 \(j\) 更优

则

\[\begin{aligned}
f_j+(i-j)*p_j < f_k+(i-k)*p_k \\
\frac{(f_j-j*p_j)-(f_k-k*p_k)}{p_k-p_j} < i
\end{aligned}
\]

因为 \(f_j-j*p_j\) 越来越小

所以最优决策在最后，用栈维护集合即可

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, maxc;
int f[N], c[N], v[N], t[15][15];

struct node{int to, pre;}e[N];
inline void add(int c, int y, int to)
{
    static int tot = 0;
    e[++tot] = node{to, t[c][y]}, t[c][y] = tot;
}

inline double slope(int j, int k){return (f[j] - 1.0 * j * v[j] / c[j] - f[k] + 1.0 * k * v[k] / c[k]) / (v[k] - v[j]);}

inline void read(int &x)
{
    x = 0; int f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') f = (ch == '-' ? -1 : f), ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    x *= f;
}
int buf[20];
inline void write(int x)
{
    if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
    for (; x; x /= 10) buf[++buf[0]] = x % 10;
    if (!buf[0]) buf[++buf[0]] = 0;
    for (; buf[0]; putchar('0' + buf[buf[0]--]));
}

int main()
{
    freopen("bus.in", "r", stdin);
    freopen("bus.out", "w", stdout);
    read(n), read(maxc);
    for(register int i = 0; i < n; i++) read(c[i]), read(v[i]);
    f[0] = 0, add(c[0], 0, 0);
    for(register int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i] = INF;
        for(register int j = 1; j <= maxc; j++)
        if (t[j][i % j])
        {
            int y = i % j;
            while (e[t[j][y]].pre && slope(e[e[t[j][y]].pre].to, e[t[j][y]].to) < 1.0 * i / j) t[j][y] = e[t[j][y]].pre;
            f[i] = min(f[i], f[e[t[j][y]].to] + (i - e[t[j][y]].to) * v[e[t[j][y]].to] / c[e[t[j][y]].to]);
        }
        if (i == n || f[i] == INF) continue;
        int y = i % c[i];
        while (t[c[i]][y] && v[e[t[c[i]][y]].to] >= v[i]) t[c[i]][y] = e[t[c[i]][y]].pre;
        while (e[t[c[i]][y]].pre && slope(e[e[t[c[i]][y]].pre].to, e[t[c[i]][y]].to) < slope(e[t[c[i]][y]].to, i))
            t[c[i]][y] = e[t[c[i]][y]].pre;
        add(c[i], y, i);
    }
    for(register int i = 1; i <= n; i++)
    if (f[i] == INF) putchar('-'), putchar('1'), putchar(' ');
    else write(f[i]), putchar(' ');
}