【深度学习 01】线性回归+PyTorch实现

阅读原文时间：2022年03月30日阅读：1

1.1 线性模型

当输入包含d个特征，预测结果表示为：

记x为样本的特征向量，w为权重向量，上式可表示为：

对于含有n个样本的数据集，可用X来表示n个样本的特征集合，其中行代表样本，列代表特征，那么预测值可用矩阵乘法表示为：

给定训练数据特征X和对应的已知标签y，线性回归的⽬标是找到⼀组权重向量w和偏置b：当给定从X的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

1.2 损失函数（loss function）

损失函数又称代价函数（cost function），通常用其来度量目标的实际值和预测值之间的误差。在回归问题中，常用的损失函数为平方误差函数：

我们的目标便是求得最小化损失函数下参数w和b的值：

求解上式，一般有以下两种方式：

1> 正规方程（解析解）

2> 梯度下降（gradient descent）

（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；

（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

上式中：n表示每个小批量中的样本数，也称批量大小（batch size）、α表示学习率（learning rate），n和α的值需要手动预先指定，而不是模型训练得到的，这类参数称为超参数（hyperparameter），选择超参数的过程称为调参（hyperparameter tuning)。

梯度下降和正规方程比较：

1.3 矢量化加速

为了加快模型训练速度，可以采用矢量化计算的方式，这通常会带来数量级的加速。下边用代码简单对比测试下矢量化计算的加速效果。

import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

a、b是全为1的10000维向量

n = 10000
a = torch.ones(n)
b = torch.ones(n)

class Timer:
def __init__(self):
"""记录多次运行时间"""
self.tik = None
self.times = []
self.start()

def start(self):  
    """启动计时器"""  
    self.tik = time.time()

def stop(self):  
    """停止计时器并将时间记录在列表中"""  
    self.times.append(time.time() - self.tik)  
    return self.times\[-1\]

def avg(self):  
    """返回平均时间"""  
    return sum(self.times) / len(self.times)

def sum(self):  
    """返回总时间"""  
    return sum(self.times)

def cumsum(self):  
    """返回总时间"""  
    return np.array(self.times).cumsum().tolist()

c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
c[i] = a[i] + b[i]
print(f'{timer.stop():.5f} sec')

timer.start()
d = a + b
print(f'{timer.stop():.5f} sec')　　

代码运行结果如下，可见矢量化代码确实极大的提高了计算速度。

注：这里矢量化计算d=a+b的时间不知道为什么统计出来是0，可能是跟电脑的计时器精度有关。

线性回归的实现过程可以简单总结为以下几个步骤：

（1）读取数据（或构造数据），转换成需要的格式和类型，并生成标签；

（2）定义初始化模型参数、定义模型、定义损失函数、定义优化算法；

（3）使用优化算法训练模型。

import random
import torch
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from d2l import torch as d2l

构造数据集

def synthetic_data(w, b, num_examples):
"""生成 y = Xw + b + 噪声。"""
# 均值为0，方差为1的随机数，行数为样本数，列数是w的长度(行代表样本，列代表特征）
X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w))) # pytorch较新版本
# X = torch.tensor(np.random.normal(0, 1, (num_examples, len(w))), dtype=torch.float32) # pytorch1.1.0版本
y = torch.matmul(X, w) + b
# 均值为0，方差为1的随机数，噪声项。
y += torch.normal(0, 0.01, y.shape) # pytorch较新版本
# y += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, y.shape), dtype=torch.float32) # pytorch1.1.0版本
return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)
print('features:', features[0], '\nlabel:', labels[0])

d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1)

生成一个data_iter函数，该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量

def data_iter(batch_size, features, labels):
num_examples = len(features)
indices = list(range(num_examples))
# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
random.shuffle(indices)
for i in range(0, num_examples, batch_size):
batch_indices = torch.tensor(indices[i:min(i+batch_size, num_examples)])
yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
print(X, '\n', y)
break

定义初始化模型参数

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad=True) # pytorch较新版本

w = torch.autograd.Variable(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(2, 1)),

dtype=torch.float32), requires_grad=True) # pytorch1.1.0版本

b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

定义模型

def linreg(X, w, b):
"""线性回归模型。"""
return torch.matmul(X, w) + b

定义损失函数

def squared_loss(y_hat, y):
"""均方损失。"""
return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2 / 2

定义优化算法

def sgd(params, lr, batch_size):
"""小批量随机梯度下降"""
with torch.no_grad():
for param in params:
param -= lr * param.grad / batch_size
param.grad.zero_()

训练过程

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
l = loss(net(X, w, b), y) # X和y的小批量损失
# 因为l形状是（batch_size, 1），而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起并以此来计算关于[w, b]的梯度
l.sum().backward()
sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数
with torch.no_grad():
train_l = loss(net(features, w, b), labels)
print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

print(f'w的估计误差：{true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差：{true_b - b}')　

使用PyTorch封装的高级API可以快速高效的实现线性回归

import numpy as np
import torch
from torch import nn # 'nn'是神经网路的缩写
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

构造数据集

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1)

调用框架中现有的API来读取数据

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):
"""构造一个PyTorch数据迭代器"""
dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

print(next(iter(data_iter)))

使用框架预定义好的层

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

初始化模型参数（等价于前边手动实现w、b以及network的方式）

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01) # 使用正态分布替换掉w的值
net[0].bias.data.fill_(0)

计算均方误差使用MSELoss类，也称为平方L2范数

loss = nn.MSELoss()

实例化SGD实例

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

训练

num_epochs = 3 # 迭代三个周期
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in data_iter:
l = loss(net(X), y)
trainer.zero_grad() # 优化器，先将梯度清零
l.backward()
trainer.step() # 模型更新
l = loss(net(features), labels)
print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

w = net[0].weight.data
print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差：', true_b - b)

1. torch.normal()报错，这个是由于PyTorch版本问题，torch.normal()函数的参数形式和用法有所变化。