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Tian Y., Krishnan D., Isola P. CONTRASTIVE REPRESENTATION DISTILLATION. arXiv preprint arXiv 1910.10699, 2019.

感觉其和此的相似度有50%, 不过这篇写得早一点, 所以后者是借鉴了这篇文章? 这篇文章总的来说就是将distillation 和 contrastive learning 结合起来.

思想便是, 希望\(f^S(x_i)\)靠近\(f^T(x_i)\), 而\(f^S(x_j)\)远离\(f^T(x_i)\). 定义

\[S:=f^S(x), \quad T:= f^T(x).
\]

假设源于同一样本的联合分布\(P(S,T|C=1)\)为\(P_1(S,T)\), 而源于不同样本的联合分布\(P(S,T|C=0)\)为\(P_0(S)P_0(T)\). 则我们很自然地希望最大化互信息:

\[I(S,T)= \mathbb{E}_{P_1(S,T)} \log \frac{P_1(S,T)}{P_0(S)P_0(T)}.
\]

接下来就是负采样和对比学习的东西了, 假设数据集是如此构造的: 一个特征\(T\), 以及N+1个特征\(\{S,S_1,\ldots, S_N\}\), 其中\(S,T\)构成正样本对(即来源于同一个样本, 其余\(S_i,T\)构成负样本对. 则我们有先验

\[P(C=1)=\frac{1}{N+1}, P(C=0)=\frac{N}{N+1}.
\]

于是便有

\[P(C=1|T,S)=\frac{P_1(T,S)}{P_1(T,S)+NP_0(T)P_0(S)},
\]

又

\[\begin{array}{ll}
\log P(C=1|T,S)
&= -\log (1+N\frac{P_0(T)P_0(S)}{P_1(T,S)}) \\
& \le -\log N + \log \frac{P_1(T,S)}{P_0(T)P_0(S)}.
\end{array}
\]

两边关于\(P_1(T,S)\)求期望可知

\[I(T,S) \ge \log N + \mathbb{E}_{P_1(T, S)} \log P(C=1|T,S).
\]

但是\(P(C=1|T,S)\)未知, 故作者采用\(h(T,S)\)去拟合, 通过极大似然估计

\[\mathcal{L}_{critic}(h)= \mathbb{E}_{P_1(T,S)} \log h(T,S) + N \mathbb{E}_{P_0(T,S)}\log (1-h(T,S)).
\]

只要\(h\)的拟合能力够强, 最后便能很好的逼近\(P(C=1|T,S)\). 设其最优解为\(h^*\). 但是需要注意的一点是, \(h^*\)跟\(T, S\)有关系, 则其隐式地和\(f^S\)有关系, 而\(f^S\)又需要

\[\max_{f^S} \mathbb{E}_{P_1} \log h^*(T,S),
\]

所以这就成了一个交替迭代的过程. 作者就另辟蹊径, 既然

\[\begin{array}{ll}
I(T,S)
&\ge \log N + \mathbb{E}_{P_1(T,S)} \log h^*(T,S) + N \mathbb{E}_{P_0(T,S)}\log (1-h^*(T,S)) \\
& \ge \log N + \mathbb{E}_{P_1(T,S)} \log h(T,S) + N \mathbb{E}_{P_0(T,S)}\log (1-h(T,S)).
\end{array}
\]

便不妨共同优化\(f^S, h\).

注: 第二个不等式成立, 因为\(h(T,S) \in [0, 1]\), 故第二项非正.

文中取的\(h\)为

\[h(T,S)=\frac{e^{g^T(T)'g^S(S)/\tau}}{e^{g^T(T)'g^S(S)/\tau} + \frac{N}{M}},
\]

其中, \(g\)为一线性变换, \(\tau\)为temperature, \(M\)为整个数据集的大小.

超参数的选择

CIFAR100:

N: 16384

\(\tau\): 0.1

原文代码