目录

• Nice Families Of GF
  • rational
  • rational algebraic D-finite总览
    • 下定义
    • 逻辑关系
  • 例子
  • 更多的例子和判别法
    • 运算是否有性质？
    • 运算是否有性质？-补充
    • 判别级数不是algebraic的方法
    • 判别级数不是D-finite的方法

Nice Families Of GF

Handbook的第61页开始，大概6，7页这样

做笔记，不然学了忘

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这里讨论三个nice properties某些生成函数可能会具有的。

rational

algebraic

D-finite(also known as “differentially finite” or “holonomic”)

具有这样的性质的生成函数会有一些良性质

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满足这3个之一就可以叫做rational，这3点是等价的

下定义

想当然地看，c-recursive和P-recursive简单的区别就是递归方程的系数是不是常数

逻辑关系

可以看到D-finite是三者中最弱的

rational的生成函数=>algebraic的生成函数=>D-finite的生成函数 生成函数

逻辑关系类比上类似于

正方形=>矩形=>平行四边形 凸四边形

Example

rational

algebraic

D-finite

\(\frac{1}{1-2x}\)

√

√

√

\(\frac{x}{1-x-x^2}\)

√

√

√

\(\sqrt{1+x}\)

×

√

√

\(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\)

×

√

√

\(e^x\)

×

×

√

\(log(1-x)\)

×

×

√

\(sin(x)\)

×

×

√

$arctan(x) $

×

×

√

\(\sqrt{1+log(1+x^2)}\)

×

×

×

\(sec(x)\)

×

×

×

\(tan(x)\)

×

×

×

运算是否有性质？

compositional inverse是说A(x)对于x为自变量的反函数

运算是否有性质？-补充

判别级数不是algebraic的方法

判别级数不是D-finite的方法

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书用的是handbook of enumerative combinatorics

资料来源网络