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• luoguP2657 [SCOI2009] windy 数
  • 简述题意：
  • Solution:

简述题意：

不含前导零且相邻两个数字之差至少为 \(2\) 的正整数被称为 \(windy\) 数。\(windy\) 想知道，在 \(a\) 和 \(b\) 之间，包括 \(a\) 和 \(b\) ，总共有多少个 \(windy\) 数？

数据范围：\(1 \le a \le b \le 2 \times 10^9\)

Solution:

先设一个 \(f[i][j]\) , 表示枚举到第 \(i\) 位，最高位是 \(j\) ，在 \([j000\cdots , j999\cdots]\) 范围内的 \(windy\) 数的数量

初始状态： $f[1][i] = 1 (0 \le i \le 9) $ , 因为表示的是个数，每个f[1][i]又只能代表一个数，所以赋初值为 \(1\)

转移方程：

\[f[i][j] = \sum_{\mid k - j \mid \ge 2}^{} f[i - 1][k]
\]

求 \(ans_{l,r}\) 时的策略：

设 \(len\) 为 \(r\) 的位数，\(s[len]\) 中存 \(r\) 的每一位

1、对于所有长度小于 \(len\) 的 \(f\) ， \(ans += \sum_{1 \le j \le 9}^{1 \le i \le len - 1} f[i][j]\)

2、对于长度等于 \(len\) 且最高位小于 \(s_{len}\) 的 \(f\) , \(ans +=\sum_{1 \le j < a_{len}} f[len][j]\)

3、对于剩下的 \(len - 1\) 位，我们继续执行 \(2\) 操作，不过 \(j \in [0, s_i)\) （因为最高位已经不为零了）

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: 数位DP
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;

LL read(){
    LL s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0', ch = getchar();
    return s * w;
} 

LL l, r, ans = 0;
LL f[22][22], g[22];

LL quick_pow(LL x, LL p){
    LL res = 1;
    for( ; p; p >>= 1){
        if(p & 1) res = res * x;
        x = x * x;
    }
    return res;
}

void init(){//初始化
    for(int i = 0; i <= 9; ++i) f[1][i] = 1;
    for(int i = 2; i <= 19; ++i){
        for(int j = 0; j <= 9; ++j){
            for(int k = 0; k <= 9; ++k){
                if(abs(k - j) >= 2)
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][k]);
            }
//            cout<<f[i][j]<<" ";
        }
//        cout<<"\n";
    }
}

LL solve(LL x){//求出ans_1 —— (x - 1)
//    cout<<"lkp ak ioi"<<endl;
    LL ans = 0, sum = 0;
    LL s[20], len = 0;
    for( ; x; x = x / 10) s[++len] = x % 10;

    for(int i = 1; i <= len - 1; ++i) {
        for(int j = 1; j <= 9; ++j){
            ans += f[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i < s[len]; ++i){
        ans += f[len][i];
    }
    for(int i = len - 1; i >= 1; --i){
        for(int j = 0; j < s[i]; ++j){
            if(abs(j - s[i + 1]) >= 2) ans += f[i][j];
        }
        if(abs(s[i + 1] - s[i]) < 2) break;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    l = read(), r = read();
    init();
    printf("%lld", solve(r + 1) - solve(l));
    return 0;
}