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Luigi Ambrosio, Giuseppe Da Prato, Andrea Mennucci, An Introduction to Measure Theory and Probability.
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P9页的Caratheodory定理是在环\(\mathscr{E}\)的基础上建立的(实际上半环足以), 通过半环生成\(\sigma\)域(通过\(\sigma(\mathscr{K})=\mathscr{D}(\mathscr{K})\)). 通过\(\mathscr{E}\)构建可测集域(外测度, 扩张), 由于\(\sigma(\mathscr{E})\)也是可测集, 所以满足所需的可加性. 当定义在\(\mathscr{E}\)的测度\(\mu\)是\(\sigma\)有限的时候(或者存在一个分割), 这个扩张是唯一的.
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\[\varphi(x)=\sum_{k-1}^n a_k 1_{A_k}, A_k = \varphi^{-1}(\{a_k\}).
\]
什么是可测函数, 以及什么是\(\mathscr{E}\)-可测函数是很重要的 (P24).
什么是\(\mu\)-integrable也是很重要的(在\(\mathscr{E}\)-可测函数定义的).
不同于我看到的一般的积分的定义, 这一节是从 repartition function 和 archimedean integral入手的, 特别是
\[\int_X \varphi d\mu := \int_{0}^{\infty} \mu(\{\varphi > t\}) \mathrm{d}t,
\]
的定义式非常之有趣.
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首先需要注意的是, \(L^p\)空间是定义在\(\mu\)-integrable上的, 所以其针对值域为\((\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))\).
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投影定理, 子空间或者凸闭集(条件和结论需要调整).
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这一章很重要!
Part1: Fubini-Tonelli
Part2: Lebesgue分解定理P92
Part3: Signed measures
Part4: \(F(x):= \mu((-\infty,x])\), P102, 弱收敛 \(\lim_{h\rightarrow \infty}\mu_h(-\infty, x]=\mu((-\infty, x])\) (除去可数多个点)
Part5: Fourier transform, 以及测度的Fourier transform (后面概率的表示函数有用), Levy定理P112.
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\[f(x)=f(a)+\int_a^x g(t)\mathrm{d}t,
\]
\[\lim_{r\downarrow0} \frac{1}{\omega_n r^n} \int_{B_r(x)} |f(y)-f(x)|\mathrm{d}y=0.
\]
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\[F_\# \mu(I) := \mu(F^{-1}(I))
\]
有一个问题就是,我看其理论都是限制在非负函数上的, 但是个人感觉直接推广到可测函数上.
需要用到逆函数定理, 很有意思.
\[\int_{F(U)} \varphi(y) \mathrm{d}y = \int_{U} \varphi(F(x)) |JF|(x)\mathrm{d}x.
\]
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注意:
\[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(X):= \int_{\Omega} X(\omega) \mathrm{d} \mathbb{P}(\omega),
\]
是限制在\(\mathbb{P}\)-integrable之上的.
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由条件概率衍生到独立性, 随机变量的独立性有几个等价条件P147, P150.
需要区分联合分布的概率和\(\mu\times v\)的区别 (当独立时才等价).
测度
概率
一致收敛
一致收敛
几乎一致收敛
几乎一致收敛
几乎处处收敛
几乎处处收敛
依测度收敛
依概率收敛
\(L^p\)收敛
\(\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}(\cdot)^p=0\)
弱收敛
依分布收敛
(几乎)一致收敛可以得到几乎处处和依测度收敛.
几乎处处在测度有限的情况下可以推几乎一致收敛, 从而得到依测度收敛.
依测度收敛必存在一个几乎处出收敛的子列.
\(L^p\)收敛一定能够有依测度收敛.
特别地, 依概率收敛有依分布收敛, 只有当依分布收敛到常数\(c\)的时候, 才能推依概率收敛到\(c\)(对应的有限测度).
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Kolmogorov's dichotomy P173 很有趣.
大数定律再到中心极限定理.
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平稳序列的定义需要注意, 另外一些理论有趣却渐渐脱离了掌控, 有点摸不着头脑.
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