该部分主要回顾了本科时数字电路中组合逻辑电路部分,内容相对简单和基础。
内容主要包括:布尔代数相关知识,卡诺图,最大项与最小项,竞争和冒险以及一些常见模块
组合逻辑:输出可以表示为瞬时输入变量的布尔函数。→即输出仅有当前输入决定
时序逻辑:输出与之前的历史输入(当前状态)有关。→需要相应的存储单元
正逻辑:高电平为1,低电平为0
负逻辑:高电平为0,低电平为1
常用算符(不多赘述)
代数法则
本科时的数电考试,这部分被玩出了花样。但个人感觉除了要考试的学生需要额外练习一下,没有必要去刻意的记,用着用着自然就熟悉了。
德摩根定律还是有必要注意一下的,不要把公式作为负担,要当成艺术。
表示法
这部分展开讲其实没什么意思,但卡诺图,译码器等都要用到。下面以三变量为示例大致说一下。
布尔函数可以表示“最小项之和”或“最大项之积”的形式,最大项和最小项个数均为2n
最小项:a’b’c’、a’b’c、a’bc’、ab’c、ab’c’、ab’c、abc’、abc ,分别为m0 ~ m7
最大项:a’+b’+c’、a’+b’+c、a’+b+c’、a’+b+c、a+b’+c’、a+b’+c、a+b+c’、a+b+c
如F=a’b’c’ + a’bc’ + ab’c’ ,可以表示为F=m0 + m2 + m4 = ∑ m(0,2,4)
F=(a’+b’+c)(a’+b+c’)(a+b’+c’)= Π M(1,2,4)
关系:1、mi=Mi'(可以根据德摩根定律得出)
2、F=∑ m(0,2,4)也可以写成F=Π M(1,3,5,6,7),两者表达式互补
注:若函数表达式F中,仅有非常少的组合能使F值为真,用最小项表示F更高效
若函数表达式F中,仅有非常少的组合能使F值为假,用最大项表示F'更高效
这一点在两者关系中可以看出,后面卡诺图中也可能会用到。
卡诺图
卡诺图是一种适用于6或5个变量以下的逻辑化简(相对比较繁琐,大量手工工作)。
如图展示了四变量卡诺图(其中X表示任意项,圈的时候既可作0又可作1)的画法,其中注意顺序是00-01-11-10。
化简步骤:1、将布尔表达式F表示为最小项之和的形式,并在最小项处填入1
2、圈相邻的1(圈尽可能大、每个圈元素个数只能是2的幂、完成后要包含所有1的元素)。注:00和10也是相邻
3、根据所圈的1,写出对应项并且相或。上图可化简为:F=abc' + abd + a'c + b'cd'
上面介绍了将布尔表达式化简成“积之和”形式的方法,当然我们也可以利用卡诺图化成“和之积”的形式
化简步骤:1、将布尔表达式F表示为最小项之和的形式,并在最小项处填入1
2、圈相邻的0,要求同上
3、根据所圈的0,写出对应项并且相或。下图可写为:F‘=a'c' + b'c' + ab'd + abcd'
4、F'取反得到F=(a+c)(b+c)(a'+b+c')(a'+b'+c'+d) 这里运用了德摩根定律
任意项与扩展卡诺图
任意项x在电路设计中是十分常见的,常用来表示该取值在系统中取不到或者不关心,所以我们可以充分利用这一特点,把任意项x当作0或者1,在卡诺图中圈出更大的圈,从而进一步化简。
扩展卡诺图是指通过填入变量的方法将卡诺图扩展(填入一个变量则增加一阶),化简步骤可总结为如下:
1、表达式化为积之和形式,填入卡诺图,存在的变量保留
2、令变量均为0,圈1(可利用无关项),得到F0
3、将一个变量f1保留,其余变量为0,所有1变为无关项,利用无关项,圈出包含变量f1的最大圈,得到F1
每个变量重复上述步骤,得到一系列Fn
4、将上述Fn相或,得到结果F=F0+F1+F2+F3……
如上例:
(a)为将布尔表达式填入后所得卡诺图,f和e为变量
(b)f和e都变为0,圈出1,得到cd'+ad'+bc'd
(c)f保留,e变为0,1变为x,圈出包含f的最大圈,得到bc'f
(d)e保留,f变为0,1变为x,圈出包含e的最大圈,得到bce
(e)得到最终表达式F=cd'+ad'+bc'd+bc'f+bce
竞争:不同扇出路径上,到达电路中某一会合点的时间有先有后
冒险:施加某些输入信号情况下可能产生毛刺的现象
静态冒险:不同扇出路径上的传播时延导致(时钟频率不是很高的情况下,对于时序逻辑几乎不会影响)
动态冒险:期望的输入,输出在到达期望值之前发生多次变化(即输入导致了输出稳定前产生了波动)——>静态冒险汇聚的结果——>不易消除(还是从消除静态冒险入手)
含有静态冒险的卡诺图圈与圈之间相切
静态冒险消除:添加冗余,覆盖冒险
步骤:(1)消除f中的静态1冒险,得到f1
(2)查找f1中是否有静态0冒险,消除后圈0得到f2'
(3)对f2'取反,得到f2既无1态冒险也无0态冒险
(1)消除静态1冒险
(2)消除静态0冒险
(1)F=a'c'+bc画在卡诺图上为两个圈相切且没有联系,含有1态冒险,增加冗余项a'b后消除;得到F1=a'c'+bc+a'b
(2)在此基础上,得到F1',即F1'=(a'+c)(a'+b)(b+c'),但注意到0态冒险已经被覆盖(否则需要额外的圈0,加入或项与F1'相与,并取反得到既无1态又无0态冒险的布尔表达式)
与非-或非门
在CMOS工艺中NAND和NOR门比AND和OR门实现起来更高效。总的来说,非门是最简单的门电路,另一方面可以提高带载能力;与非门和或非门是最常用的且相对简单的;同相门是相对比较复杂的。
积之和形式的布尔表达式很容易化成与非门形式表示。如F=AB+BC+CD,可以对表达式连续取两次非,即F=(AB+BC+CD)'',保留一个非,另一个非与括号内的项利用德摩根律得到F=[(AB)'+(BC)'+(CD)']’。
和之积形式的布尔表达式也很容易化成或非门表示。
多路复用器和解复用器
多路复用器在数字电路中十分常用。
简单来说,多路复用器的功能就是利用select信号选出若干输入信号中的一路信号到输出,所以也叫数据选择器。如下图。
多路解复用器与其相反,功能是将一路输入信号选择输出到若干路输出的一路。
编码器和译码器器
编码器是将输入信号转化为对应的二进制数码,用二进制码的形式存储数据。
译码器是将二进制码还原成原来信号。
编码器有n个输入,m个输出,关系2m=n,输出位数比输入少。相对应的,译码器的输出位数比输入多。
限制:编码器仅允许输入一个位有效
优先编码器:允许多个输入同时有效,根据优先权规则形成对应输出,解决了普通编码器的问题。如图。
本文章针对数字电路中组合逻辑的基础问题进行了总结和分享,文中可能有疏漏和不足,也希望各位看客能够提出宝贵的意见!
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