曲线艺术编程 coding curves 第九章旋轮曲线（ROULETTE CURVES）

阅读原文时间：2023年08月10日阅读：1

第九章旋轮曲线（ROULETTE CURVES）

原作：Keith Peters https://www.bit-101.com/blog/2022/11/coding-curves/

译者：池中物王二狗(sheldon)

源码：github: https://github.com/willian12345/coding-curves

曲线艺术编程系列第 9 章

一开始我本章标题我打算使用“次摆线与摆线（旋轮线）”。我想它们是两种不同类型的曲线，虽然有点儿联系。但随着了解的深入，我有点儿凌乱了。事实上摆线是一类非常特别的次摆线。我会原谅我自己的。这是维基百科上它们的定义：

在几何上，次摆线（trochoid 原自古希腊语 trochos ‘wheel’）是一个圆延一条直线滚动一圈形成的旋转曲线。

在几何上，摆线追踪在圆上的一个点，圆延直线滚动后形成的曲线。

它们不仅不是两个不同的东西，从描述上看它们几乎是同一个东西。细节决定成败。让我们开始探索吧。

有三种不同的次摆线：

普通次摆线（也称摆线）
Prolate trochoids 长幅摆线
Curtate trochoids 短幅摆线

除此之外，还有一些相关的曲线，大概覆盖以下几种：

Epitrochoids 长短辐外摆线

Hypotrochoids 长短辐内摆线

Epicycloids 外摆线

Hypocycloids 内摆线

Involutes 渐伸线

它们组合在一起就是旋轮曲线家族了。在这章除 Involutes 渐伸线外其它都将涉及到。

讲了了大堆有的没的，先从次摆线开始，让我们一一把它们搞清楚。

就像上面描述的，一条次摆线就是一个圆在直线上滚动形成的旋转曲线。在编码之前先把它可视化看看：

如果我们追踪圆周上的那个黑点…

… 新的曲线就是次摆线。事实上由于是绘制点依赖于圆周，所以也称为普通摆线或圆滚线。

如果将圆周上的点延伸超过圆周，那么我们就得到长幅次摆线（Prolate trochoid）。

如果黑点在圆内部，它就是短幅次摆线（Curtate trochoids)。

为了做出这些动画，我让圆从左向右运动，计算出每个位置上圆的旋转角度，用 sine 和 cosine 基于圆的位置与旋转角度计算出点的位置，然后用这些点画出线。但对于次摆线其实有更直接的公式

x = a * t - b * sin(t)
y = a - b * cos(t)

t 是圆的旋转角度，它可以无限增长， a 是圆的半径， b 是圆心点至绘制点的距离 - 可以说是那个点的半径。让我们把它实现出来：

width = 800
height = 300
canvas(width, height)

translate(0, height/2)
scale(1, -1)
moveTo(0, 0)
lineTo(width, 0)
stroke()

a = 20.0
b = 20.0
res = 0.05

for (t = 0.0; t < width; t += res) {
    x = a * t - b * sin(t)
    y = a - b * cos(t)
    lineTo(x, y)
}
stroke()

公式是基于笛卡尔坐标的，我们要将 y 轴移至 canvas 中心，并将 y 轴翻转。

然后画一条直线从 y 轴中心穿过用于表示圆滚动时的“地面”。你可以画也可以选择不画。

我们将 a 和 b 都设为 20，这样就可以得到摆线（译者者：普通旋转线）了。我们循环将从 0 至 canvas 的宽度用于变量 t, 应用公式连接至计算出的结果点。

如果将 b 提高到 60，我们就得到了长幅摆线

如果将 b 减小到 10，我们就得到了短幅摆线。

我不知道长幅摆线和短幅摆线的用词是否准确，但听起来挺酷。

这就是全部关于次摆线的内容。试试给 a 和 b 设不同的值，或者你自己改一下其它值，我就不再再多讲了。因为下面还留有很多旋轮曲线需要探讨。

接下来我们要聚焦于被称为中心次摆线的四种曲线。与延直线滚动不同，它是延另一个圆滚动，可能是延那个圆圆内部滚动也可能是延那个圆的外部滚动。

四类分别是：

Epicycloids 外摆线 - 延一个圆外部滚动的圆，圆周上某一点轨迹形成的曲线。
Epitrochoids 长短辐外摆线 - 与上面一个一样，但这个点是不在圆周上，而是在圆外或圆内，与短幅次摆线与长幅次摆线一样。
Hypocycloids 内摆线 - 延一个圆内部滚动的圆，圆周上某一点轨迹形成的曲线。
Hypotrochoids 长短辐内摆线 - 与上面那个一样，但这个点是不在圆周上，而是在圆外或圆内

除此之外，还有一些曲线也是属于上面曲线的一种变体，只是形成曲线的两个圆半径有特殊的比例关系。我们稍后会看介绍一些。

首先，让我们将一个圆延另一个圆外滚动可视化

再追踪一下那个黑色的点的绘制结果

这就是你长短辐外摆线！

事实上，由于那个点是在圆周位置上，所以这也就是外摆线！

如果将点往外移动一点…

再我们往内移动一点。

再一次，我创建这些动画是通过计算这些圆的位置，绘制这些圆，再计算这些圆的旋转角度并绘制对应的点，然后再连接每一帧所绘制的点路径形成曲线。为了展示动画像这么做是值得的，但是其实是有更简单的公式，你可以直接应用：

长短辐外摆线公式：

x = (r0 + r1) * cos(t) - d * cos(((r0 + r1) * t) / r1)
y = (r0 + r1) * sin(t) - d * sin(((r0 + r1) * t) / r1)

参数解析：

r0 是定圆的半径
r1 是动圆的半径
t 是增长的弧度
d 是动圆中心点与绘制点之间的距离 (如果是外摆线则 r1 与 d 相同)

我们用这个公式瞬间就可以用些代码实现：

width = 800
height = 800
canvas(width, height)

translate(width/2, height/2)

r0 = 180
r1 = 60
d = 60
res = 0.01

circle(0, 0, r0)
stroke()

for (t = 0.0; t < PI * 2; t += res) {
  x = (r0 + r1) * cos(t) - d * cos(((r0 + r1) * t) / r1)
  y = (r0 + r1) * sin(t) - d * sin(((r0 + r1) * t) / r1)
  lineTo(x, y)
}
stroke()

我们设置变量 r0, r1, d 然后绘制定圆仅仅是为了引用变量

接着循环 t 至 2 * PI, 得到 x， y 点，绘制一条线至那个点。

得到结果：

值得注意的一点， ro 到 r1 的比例。 180:60 或 3:1。我们得到3个结点。如果将 r1 改为 45，比例即变为 4:1 ，我们将得到 4 个结点。（我将 d 变为 45 也是为了适配 r1）

下面是 12:1 :

如果比例的第二个数字不是1，会如何？让我们将 r0 设置为 150，r1 为 100。现在，ratio 为 3:2。

毫无意外，我们得到了一个半的结点（nodes）。为了完成这个曲线，我们不得不再绕一圈，需要将 t 的范围值变为 0 到 PI * 4。然后得到结果：

如果你使用整数，循环总是会完成的。在下一个例子中，比如是 11:7 ，所以不得不将 t 结束值调整为 PI * 14：

如果是 111:70，意味着我需要 t 结束范围调整至 140 * PI:

手动算这个有点痛苦，你可以创建个函数简化比例计算并用分母 * PI * 2 作为循环次数。下面有两个有用的函数

//（译者注： gcd 即 greatest common divisor 求最大公约数）
function gcd(x, y) {
  result min(x, y)
  while (result > 0) {
    if (x % result == 0 && y % result == 0) {
      break
    }
    result--
  }
  return result
}

function simplify(x, y) {
  g = gcd(x, y)
  return x / g, y / g
}

仅需要将 r0 和 r1 传入 simplify 函数，得到简化后的比例。将结果的第二个数字 * 2 * PI 做为循环的结束条件。下面是例子…

（译得注：简化比例式，最后将分母 * 2 * PI）

width = 800
height = 800
canvas(width, height)

translate(width/2, height/2)

r0 = 111
r1 = 70
d = 70
res = 0.01
num, den = simplify(r0, r1)

circle(0, 0, r0)
stroke()

for (t = 0.0; t < PI * 2 * den; t += res) {
  x = (r0 + r1) * cos(t) - d * cos(((r0 + r1) * t) / r1)
  y = (r0 + r1) * sin(t) - d * sin(((r0 + r1) * t) / r1)
  lineTo(x, y)
}
stroke()

用化简后的分数的分母保证循环足够多闪以形成完整的曲线。

到目前为止，全部是外摆线(圆外旋轮线)。让我们改变参数 d 来创建一些其它的长短幅外摆线。

让 d 大于 r1:

d 小于 r1:

在这些例子中我没有再把内圆画出来。

你无需让我再提供更多的例子了。只需要改变数字看看能得到啥结果。

蚶线是长短幅摆线的一种，生成它的两个圆半径相等。如果两个点在圆内，则它是特殊的蚶线被称为 Cardioid 心形曲线。

下面是一个蚶线，两个半径都是 80 ， d 值设为 160。

心形线三个值都设为 80

肾脏线是长短幅外摆线的一类，它的定圆半径是动圆半径的2倍，且那个点在动圆的圆周上。这是肾脏线的图

你也可以让那个动圆上的点不在动圆圆周上，但却不再是肾脏线了，但依然是很不错的曲线。

现在让我们把视线转向长短幅内摆线！

正如前面提到的，长短幅内摆线其实就是动圆是延定圆内部滚动的。

我们跟踪那个曲线上的绘制点，就得到了长短幅内摆线

事实上，由于绘制点在动圆圆周上，它就是内摆线。

当绘制点移动到动圆外部，得到的就是：

当绘制点移到动圆内部…

像之前一样，这个动画是用野路子创建的，其实是有简单公式可以实现。

长短幅内摆线公式：

x = (r0 - r1) * cos(t) + d * cos(((r0 - r1) * t) / r1)
y = (r0 - r1) * sin(t) - d * sin(((r0 - r1) * t) / r1)

参数与长短幅外摆线类似，事实上公式也基本相同，仅有几项符号不同。

下面是使用方法。

width = 800
height = 800
canvas(width, height)

translate(width/2, height/2)

r0 = 300
r1 = 50
d = 50
res = 0.01
num, den = simplify(r0, r1)

for (t = 0.0; t < PI * 2 * den; t += res) {
  x = (r0 - r1) * cos(t) + d * cos(((r0 - r1) * t) / r1)
  y = (r0 - r1) * sin(t) - d * sin(((r0 - r1) * t) / r1)
}
stroke()

代码运行结果：