洛谷 P1434 [SHOI2002]滑雪(DP,记忆化搜索)
阅读原文时间:2023年07月10日阅读:1

Michael喜欢滑雪。这并不奇怪,因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度,滑的区域必须向下倾斜,而且当你滑到坡底,你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子:

1   2   3   4   5
16  17  18  19   6
15  24  25  20   7
14  23  22  21   8
13  12  11  10   9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一,当且仅当高度减小。在上面的例子中,一条可行的滑坡为24-17-16-124-17-16-124-17-16-1(从242424开始,在111结束)。当然25-24-23-…-3-2-125-24-23-…-3-2-125-24-23-…-3-2-1更长。事实上,这是最长的一条。

输入格式:

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数RRR和列数CCC(1≤R1≤R1≤R,C≤100C≤100C≤100)。下面是RRR行,每行有CCC个数,代表高度(两个数字之间用1个空格间隔)。

输出格式:

输出区域中最长滑坡的长度。

输入样例#1:

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

输出样例#1:

25

可以轻易地推出状态转移方程为:

dp[i][j]=max(dp[i−1][j]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i−1][j])
dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+1,dp[i][j]\ \ (if\ dp[i][j]>dp[i-1][j])
dp[i][j]=max(dp[i−1][j]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i−1][j])

dp[i][j]=max(dp[i+1][j]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i+1][j])
dp[i][j]=max(dp[i+1][j]+1,dp[i][j]\ \ (if\ dp[i][j]>dp[i+1][j])
dp[i][j]=max(dp[i+1][j]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i+1][j])

dp[i][j]=max(dp[i][j−1]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i][j−1])
dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+1,dp[i][j]\ \ (if\ dp[i][j]>dp[i][j-1])
dp[i][j]=max(dp[i][j−1]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i][j−1])

dp[i][j]=max(dp[i][j+1]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i][j+1])
dp[i][j]=max(dp[i][j+1]+1,dp[i][j]\ \ (if\ dp[i][j]>dp[i][j+1])
dp[i][j]=max(dp[i][j+1]+1,dp[i][j]  (if dp[i][j]>dp[i][j+1])

但是dp[i−1][j],dp[i+1][j],dp[i][j−1],dp[i][j+1]dp[i-1][j],dp[i+1][j],dp[i][j-1],dp[i][j+1]dp[i−1][j],dp[i+1][j],dp[i][j−1],dp[i][j+1]的值不能通过普通的线性dp来求的,所以需要进行记忆化搜索来遍历所有的状态,并进行记忆化,这样就可以获得上述四个状态的值了,然后进行dp即可

也可以将二维的地图进行降维,然后进行线性dp,具体方法请看dalao博客:https://sparky.blog.luogu.org/solution-p1434

/*************************************************************************

     > Author: WZY
     > School: HPU
     > Created Time:   2019-02-06 20:45:27

************************************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x7f7f7f7f
const int maxn=1e3+10;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int a[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];
int dir[4][2]={1,0,-1,0,0,1,0,-1};
int n,m;
int dfs(int x,int y)
{
    if(dp[x][y])
        return dp[x][y];
    int _=0;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        int dx=x+dir[i][0];
        int dy=y+dir[i][1];
        if(dx<=n&&dx>0&&dy<=m&&dy>0&&a[x][y]>a[dx][dy])
            _=max(dfs(dx,dy)+1,_);
    }
    dp[x][y]=max(_,dp[x][y]);
    return dp[x][y];
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>a[i][j];
    ms(dp,0);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            ans=max(ans,dfs(i,j));
    cout<<ans+1<<endl;
    return 0;
}