看起来简单实际上却很牛的KMP算法:LeetCode572-另一棵树的子树
阅读原文时间:2023年07月10日阅读:1

给定两个非空二叉树 s 和 t,检验 s 中是否包含和 t 具有相同结构和节点值的子树。s 的一个子树包括 s 的一个节点和这个节点的所有子孙。s 也可以看做它自身的一棵子树。

从s的根节点开始遍历,查看该节点下的子树是否与t相同。方法是同步对s和t进行遍历,一旦出现s和t有不同(包括只有其中一个为NULL,或都不为NULL时value不同),就返回为false。如果最终返回给调用比较函数的地方是false,那么就继续为s的下一个节点重新遍历。

class Solution {
public:
    bool isSameTree(TreeNode * sNow, TreeNode * tNow)
    {
        if(!sNow && !tNow) return true;
        if((!sNow && tNow) || (sNow && !tNow) || (sNow->val != tNow->val))
        return false;
        //这里直接返回的是:当左子树和右子树全部相等时,就是匹配的。
        //为什么没有比较本节点?因为假如本节点value不一样,就已经在上面一个if被返回false了,不会执行到最后的return
        return isSameTree(sNow->left, tNow->left) && isSameTree(sNow->right, tNow->right);
    }

    bool dfs(TreeNode * sNow, TreeNode * tNow)
    {
        if(!sNow) return false;
        //由于||和&&的短路特性,||后面的表达式只有前面为false才会被运行
        return isSameTree(sNow, tNow) || dfs(sNow->left, tNow) || dfs(sNow->right, tNow);
    }

    bool isSubtree(TreeNode* s, TreeNode* t) {
        bool isSub = dfs(s, t);
        return isSub;
    }
};

显然暴力解法的复杂度太高了。其时间复杂度为O(|s|*|t|),其中|s|和|t|是s树和t树的节点数量。空间复杂度方面,递归栈最大为O(max{ds, dt}),其中ds, dt分别是s和t的最大深度。

为了解决暴力解法复杂度高的问题,一个容易想到的思路是首先对s和t前序遍历之后形成数组(字符串),然后再来进行字符串的匹配。

这样会出现一个显而易见的问题,当t是s的“一部分”而并非子树时,也就是t的“底端”比s多一些节点时,会出现匹配失误的情况。为了解决该问题,可以将叶节点左、右节点的NULL也插入到字符串中,这样可以保证匹配唯一。

遍历过后,就成为了一个字符串匹配问题。我们把较长的需要寻找子串的一个叫做文本串S(此处是s树得来的),匹配的目标叫做模式串P(此处是t树得来的)。

直接匹配

进行字符串匹配时,首先可以从暴力匹配想起。其思路是:对于S[i], P[j],如果匹配,则继续往后一位匹配。如果失配,则S退回到i = i-j+1,也就是与j开始匹配的后一位,P退回到j = 0,重新开始匹配过程。

此算法的浪费之处在于,假如失配时S[i-j+1]与S[i-j]并不相同,那么P重新从S[i-j+1]开始匹配时必然是失配的,在找到下一个匹配开始点前的操作都是重复的。

KMP算法匹配

KMP算法原理

KMP算法的核心在于利用了已经匹配过的信息。其关键在于加入了一个next数组。

next数组的意义是:next[k]表示从模式串的子串P[0]到P[k]中,相同前缀后缀的最大长度。例如:P = ABCDFABGF,那么next[6] = 2,即子串ABCDFAB的相同前缀后缀最长是AB,长度为2。

有了next数组,如果首位失配则S[i]后移(i++),如果非首位失配,则下次迭代只要从S[i]和P[next[j]]开始即可。因为在失配处的前面子串里,长度为next[j]的后缀是跟前缀一样的,这next[j]位必定是匹配的,无需再次迭代。

next数组求解

那么还剩下一个问题,next数组如何求解?

首先直观的方式是直接索引长度为1、2、3……的开头和结尾串,直到长度j-1的子串。其计算的重复性也是显而易见的。

较好的方法是使用动态规划。思考一下,当已知next[0…j]时,如何求出next[j+1]的值?

令k = next[j],即从开头算起长度为j的子串,最长的相同前缀后缀长度为k。此时有两种情况:

  1. p[k] = p[j]:即之前的前后缀再往后看一格,也是相同的。所以此时这个长度就增加了1,即next[j+1] = k + 1。

  2. p[k] ≠ p[j]:则令k = next[k],即在原本的最长相同前缀子串里再寻找它的最长相同前缀,重复第一步。意思是说,对于p[j+1],如果之前的相同前后缀再加一位是不相同的,那么再到这个前缀里去找,能不能找到?这样循环往复,直到最开始为止。

    class Solution {
    private:
    int maxElement,lNULL, rNULL;
    vector sValues, tValues;
    public:
    void getMaxElement(TreeNode *p)
    {
    if(!p) return;
    maxElement = max(maxElement, p->val);
    getMaxElement(p->left);
    getMaxElement(p->right);
    }

    void traverse(TreeNode * p, vector<int> & stack)
    {
        if(!p) return;
        stack.push_back(p->val);
    if(p-&gt;left == NULL)
        stack.push_back(lNULL);
    else
        traverse(p-&gt;left, stack);
    
    if(p-&gt;right == NULL)
        stack.push_back(rNULL);
    else
        traverse(p-&gt;right, stack);
    } bool kmp() { int i = 0, j = 0; int sLen = sValues.size(), tLen = tValues.size(); vector<int> next(tLen, 0);
    //首先计算next数组
    for(int k = 1; k &lt; tLen; k++)
    {
        int index = k;
        while(index &gt; 0)
        {
            if(tValues[k] == tValues[next[index - 1]])
            {
                next[k] = next[index - 1] + 1;
                break;
            }
            else
            {
                index = next[index - 1];
            }
        }
        if(index &lt;= 0) next[k] = 0;
    }
    
    //从头开始匹配字符串,失配后使用next数组重新尝试匹配
    while(i &lt; sLen &amp;&amp; j &lt; tLen)
    {
        if(j == 0)
        {
            while(sValues[i] != tValues[j] &amp;&amp; i &lt; sLen)
                i++;
        }
    
        if(sValues[i] == tValues[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else
        {
            if(j &gt; 0)
                j = next[j - 1];
            else
                j = 0;
        }
    }
    if(j == tLen)
        return true;
    return false;
    } bool isSubtree(TreeNode* s, TreeNode* t) { maxElement = INT_MIN; getMaxElement(s); //找出s和t中的最大值,分别+1 +2作为左右NULL值 getMaxElement(t); lNULL = maxElement + 1; rNULL = maxElement + 2;
    traverse(s, sValues);    //对s,t进行前序遍历
    traverse(t, tValues);
    
    return kmp();
    }

    };