牛客练习赛71E-神奇的迷宫【点分治,NTT】
阅读原文时间:2023年07月08日阅读:2

正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7745/E


给出\(n\)个点的一棵树,每个点有一个选择权重\(a_i\)(有\(\frac{a_i}{\sum_{i=1}^na_i}\)的概率被选择)。

然后有一个序列\(w\)。随机选择两次点(可以相同)若它们之间距离为\(L\),那么困难值为\(w_L\)

求期望困难值。

\(1\leq n\leq 10^5,0\leq w_i\leq 10^8\)


设\(p_i\)表示选择\(i\)的概率那么就是求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np_ip_jw_{dis(i,j)}
\]

看起来很点分治就上点分治吧

怎么合并两个子树的距离,设\(u_i\)表示子树\(1\)中深度为\(i\)的概率和,\(v_i\)则表示子树\(2\)中的。

那么就有

\[ans=\sum_{i=1}\sum_{j=1}u_iv_iw_{i+j}=\sum_{i=1}w_{i}\sum_{j=1}u_jv_{i-j}
\]

看起来很卷积就上\(\text{NTT}\)吧

做起来比较麻烦,题解告诉我们可以直接计算整个树的然后再分别减去每个子树内的。

时间复杂度\(O(n\log^2 n)\)

这下一雪我半年前考场调了半天长剖+NTT的前耻了


#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
struct node{
    ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,l,ans,root,num,mx,tot,ls[N],p[N],w[N];
ll r[N],g[N],siz[N],f[N],x[N];
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
void addl(ll x,ll y){
    a[++tot].to=y;
    a[tot].next=ls[x];
    ls[x]=tot;return;
}
void NTT(ll *f,ll op){
    for(ll i=0;i<l;i++)
        if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
    for(ll p=2;p<=l;p<<=1){
        ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
        if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
        for(ll k=0;k<l;k+=p){
            ll buf=1;
            for(ll i=k;i<k+len;i++){
                ll tt=buf*f[i+len]%P;
                f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
                f[i]=(f[i]+tt)%P;
                buf=buf*tmp%P;
            }
        }
    }
    if(op==-1){
        ll invn=power(l,P-2);
        for(ll i=0;i<l;i++)
            f[i]=f[i]*invn%P;
    }
    return;
}
void GetL(ll n){
    l=1;while(l<n)l<<=1;
    for(ll i=0;i<l;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(l>>1):0);
    return;
}
void groot(ll x,ll fa){
    siz[x]=1;g[x]=0;
    for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
        ll y=a[i].to;
        if(y==fa||v[y])continue;
        groot(y,x);siz[x]+=siz[y];
        g[x]=max(g[x],siz[y]);
    }
    g[x]=max(g[x],num-siz[x]);
    if(g[x]<g[root])root=x;
    return;
}
void calc(ll x,ll fa,ll dep){
    (f[dep]+=p[x])%=P;
    mx=max(mx,dep);
    for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
        ll y=a[i].to;
        if(y==fa||v[y])continue;
        calc(y,x,dep+1);
    }
    return;
}
void del(){
    for(ll i=0;i<=mx;i++)f[i]=0;
    mx=0;return;
}
void fuc(ll n,ll z){
    GetL(2*n);
    for(ll i=0;i<l;i++)x[i]=f[i];
    NTT(x,1);
    for(ll i=0;i<l;i++)x[i]=x[i]*x[i]%P;
    NTT(x,-1);
    for(ll i=0;i<l;i++)
        (ans+=z*w[i]*x[i]%P)%=P;
    return;
}
void solve(ll x){
    v[x]=1;ll tal=num;
    calc(x,x,0);fuc(mx+1,1);del();
    for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
        ll y=a[i].to;
        if(v[y])continue;
        calc(y,x,1);fuc(mx+1,-1);del();
    }
    for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
        ll y=a[i].to;
        if(v[y])continue;
        num=(siz[y]>siz[x])?(tal-siz[x]):siz[y];
        root=0;groot(y,x);solve(root);
    }
    return;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);ll s=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&p[i]),s+=p[i];
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        p[i]=p[i]*power(s,P-2);
    for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&w[i]);
    for(ll i=1;i<n;i++){
        ll x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        addl(x,y);addl(y,x);
    }
    num=n;g[0]=1e9;
    groot(1,1);
    solve(1);
    printf("%lld\n",(ans+P)%P);
    return 0;
}

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