[数学]高数部分-Part VI 重积分
阅读原文时间:2023年07月09日阅读:1

Part VI 重积分

  1. \(设D关于y轴对称,\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma,若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0,若f(-x,y)=-f(x,y),奇 \end{cases}\)
  2. \(设D关于x轴对称,\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma,若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0,若f(x,-y)=-f(x,y),奇 \end{cases}\)

轮换对称性:

\(若将D中的x与y对调,可推出D不变,则:\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy,此即为轮换对称性\)

\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)

  1. \(X型区域(上下型)\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)

    后积先定限,限内画条线,先交下曲线,后交上曲线

  2. \(Y型区域(左右型)\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)

\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)

\(f(x,y)在有界闭区域D上连续,\sigma_{0}是D的面积,则在D内至少存在一点(\xi,\mu),使得\iint_{D} f(x,y)d\sigma = f(\xi,\mu)\sigma_{0}\)

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