Pollard-Rho

一种复杂度大概在 $ O(n^{\frac 1 4} \log n) $ 的分解质因数方法。

Miller-Rabin

给定一个 $ 10^{18} $ 范围的数，判断质数

由于费马小定理，我们知道当 $ a\bmod p \neq 0 $ 且 $ p $ 为 质数 时，$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p $ ，而如果 $ p $ 不为质数，这东西有一定几率成立。

所以我们有一个想法，随机一些 $ a $ ，对每个 $ a $ 用这个式子判断一下，如果有一个错误了它就直接是合数了。

但是有些合数更特殊，对于 $ 1\leq a < p $ 都成立这个式子，比如 $ 561 $ 。

于是有了个二次探测定理。如果 $ x^2 \equiv 1 \pmod p $ 则有 $ x\equiv \pm 1 \pmod p $ ，其中 $ p $ 为质数。

证明很显然， $ p | x^2 - 1 \to p | (x+1)(x-1) $ ，所以 $ p | (x+1) $ 或 $ p | (x-1) $。

然而仍然，对于合数这个东西有一定几率不成立。

这个算法的做法就是，检测 $ a^{p-1} $ 模 $ p $ 下的值，如果不是 1 或者 -1 那么必然不是合数。如果算出来是 1 并且 $ 2 | \frac{p-1} 2 $ ，那么递归下去算 $ \frac{p-1} 2 $ ，如果算出来是 $ p-1 $ 直接返回为质数。

这样做并不是一定正确的，所以我们得多拿几个 $ a $ 来测。

复杂度是 $ O(k\log^2 n) $ 的。

具体而言：

• $ n \leq 4\times 10^9 $ 时， $ 2,7,61 $ 即可保证正确
• $ n \leq 10^{18} $ 时，$ 2,3,5,7,11,13,17,19,23 $ 可以保证正确
• $ n \leq 10^{19} $ 时，$ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 $ 可以保证正确。

虽然多数时候这个复杂度不会成为瓶颈，但是它仍然可以被优化。可以预处理出 $ p - 1 $ 的分解中 2 的个数 $ k $ 然后先算出 $ a{\frac{p-1}{2k}} $ 再一步步平方回去，这样复杂度就可以优化掉 ksm 变成 $ O(k\log n) $

Pollard-Rho

现在已经完全明白了如何判质数，那么怎么质因数分解呢？

首先用 Miller-Rabin 判一下它是不是质数，是就直接 return 了。

否则，它一定有一个 $ \leq \sqrt n $ 的因子 $ p $

于是有一个乱搞思路，随机选出 $ n^{\frac 1 4} $ 个数，两两做差再求 gcd ，期望情况下可以分解出来，但是这样并不优秀。

所以考虑设函数 $ f(i) = (f(i-1)^2 + a) \pmod n $ 。其中 $ a $ 是一个常数。我们发现，这样的话 $ f $ 必然会循环。它最后的形状很类似一个 $ \rho $ ，先经历尾巴再进入一个循环。（同时这也是为啥名字叫 Pollard-Rho）。

显然，即使是在$ \bmod p $ 的意义下它仍然是循环的，我们可以认为这个 函数 的数字出现是随机的，所以 $ \bmod p $ 意义下的最终环的长度是 $ O(p^\frac 1 2) = O(n^ \frac 1 4) $ 的。

具体应该怎么做呢？ Pollard-Rho 有两种实现方法：

• Floyd 判环

  一种比较好写好理解的方法，但是貌似不如第二种优秀。

  做法是，每次让 $ s $ 走一步，$ t $ 走两步，然后求一下 $ y-x $ 和 $ n $ 的 $ \gcd $ 。但是如果 $ x = y $ 了就说明进入了 $ \bmod n $ 的循环，就挂掉了，分解失败，需要再次随机继续来。

  如果我们可以在某一时刻发现 $ \gcd(y-x , n) \neq 1 $ 这就意味着我们找到了一个 $\bmod p $ 意义下的环，并且没有找到 $ \bmod n $ 意义下的环。成功进行了一次分解！

好现在可以总结一下，Pollard-Rho 的本质是在环上跑，目的是在进入 $ \bmod n $ 的环之前进入 $ \bmod p $ 的环。如果做到了，那就可以分解出最小质因数 $ p $ 的某个倍数（并且也是 $ n $ 的约数），否则（比如同时进入这两个环）就需要调参重来。

然后是一种更优秀的判环方法：

• Brent 判环

  每次 $ x $ 走一步，当它走了 $ 2^k $ 时让 $ y = x $，然后 $ x $ 继续走。同时在 $ x $ 走了 $ 128 $ 的倍数步的时候，我们 check 一次。

  我也不知道为啥 \(128\) 这个数字很优秀，但是这样做确实很优秀。

  #include "iostream"
  #include "algorithm"
  #include "cstring"
  #include "cstdio"
  #include "cmath"
  #include "vector"
  using namespace std;
  typedef long long ll;

  ll mul( ll a , ll b , ll md ) {
  return ( a * b - (ll)( (long double)a / md * b + 0.5 ) * md + md ) % md;
  }
  ll Pow( ll x , ll a , ll md ) {
  ll cur = x % md , ans = 1;
  while( a ) {
  if( a & 1 ) ans = mul( ans , cur , md );
  cur = mul( cur , cur , md ) , a >>= 1;
  }
  return ans;
  }

  const int ck[] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23} , _l = 8;
  bool miller( ll n ) {
  if( n == 1 ) return false;
  ll t = n - 1; int cn = 0;
  while( !( t & 1 ) ) t >>= 1 , ++ cn;
  for( int i = 0 ; i < _l ; ++ i ) {
  if( n == ck[i] ) return true;
  ll a = Pow( ck[i] , t , n ) , nex = a;
  for( int j = 1 ; j <= cn ; ++ j ) {
  nex = mul( a , a , n );
  if( nex == 1 && a != 1 && a != n - 1 ) return false;
  a = nex;
  }
  if( a != 1 ) return false;
  }
  return true;
  }

  inline ll f( ll x , ll c , ll md ) {
  return ( mul( x , x , md ) + c ) % md;
  }

  inline ll _rand( ) {
  return (ll) rand() << 32 | rand(); } inline ll _randw() { return (ll)rand() << 48 | (ll)rand() << 32 | rand() << 16 | rand(); } inline ll _abs( ll x ) { return x > 0 ? x : -x;
  }
  inline ll gcd( ll a , ll b ) {
  return !b ? a : gcd( b , a % b );
  }

  inline ll pollard_rho( ll n ) {
  ll s = 0 , t = 0 , c = _rand() % ( n - 1 ) + 1 , val = 1;
  for( int cir = 1 ; ; cir <<= 1 , s = t , val = 1 ) {
  for( int i = 0 ; i < cir ; ++ i ) {
  t = f( t , c , n ) , val = mul( val , _abs( t - s ) , n );
  if( i % 127 == 0 ) {
  ll g = gcd( val , n );
  if( g != 1 ) return g;
  }
  }
  ll g = gcd( val , n );
  if( g != 1 ) return g;
  }
  }

  vector divs;
  inline void analyze( ll n ) {
  if( n == 1 ) return;
  if( miller( n ) ) { divs.push_back( n ); return; }
  ll d = n;
  while( d == n ) d = pollard_rho( n );
  n /= d;
  analyze( n ) , analyze( d );
  }

  int main() {
  srand( time(0) );
  int T;cin >> T;
  ll n;
  while( T-- ) {
  scanf("%lld",&n);
  if( miller( n ) ) { puts("Prime"); continue; }
  divs.clear();
  analyze( n );
  printf("%lld\n",*max_element( divs.begin() , divs.end() ) );
  }
  }