Microfacet模型采样下的brdf

阅读原文时间：2021年09月27日阅读：1

本文前言

在学习图形学（games101 from bilibili）的时候，也遇到了像这样的问题，Cook-Torrance模型无法实现粗糙度为0时，物体微表面呈现绝对镜面的效果（呈现出一面镜子），为了搜寻解决办法，因此看到了这篇博客，因为是全英文，所以就花了一点时间翻译了一下，方便日后重新观看，红色字对原博客的补充说明

前言

最近我正在为我的渲染器开发microfacet brdf模型，我注意到为microfacet brdf提供一个单独的采样方法是非常必要的，而不是使用默认的方法，因为默认的方法通常用于像漫反射一样的表面，而对于像镜面一样的带有mirror的brdf，效率非常低。下面的图片是由默认采样方法生成的。

左边的猴子是纯反射brdf，这在我之前的博文中提到过，右边的猴子使用microfacet模型，粗糙度值为0（对于一个平滑的光面，光线大体上更趋向于向同一个方向反射，造成更小更锐利的反射）。我本来以为这两只猴子会有类似的结果，但事实证明这里是错误的，我们几乎看不到猴子的反射。其实没有什么问题，事实是，默认采样的粗糙度为0的microfacet模型的收敛率非常低。只要有足够的样本，它就会达到与左图相似的外观。然而，足够的样本数可以是任意的高，这取决于你的brdf有多尖锐。

本文中提到了对microfacet brdf进行采样的正确方法。我想在这篇博客中记录的是这些结论是如何从原始microfacet模型中得出的。使用这些更好的采样方法，我们最终会对那两只猴子得到类似的结果。

为什么默认的抽样方法是低效的

那么，为什么这种默认的抽样方法对于像brdf模型这样的镜像来说是低效的。首先，默认的抽样方法与以下的pdf。

\[p_h(ω)=\frac{cos(θ)}{π}
\]

对于像Lambert, OrenNayar这样的漫反射表面，它能达到很好的效果。事实上，它不是漫反射brdfs的取样方法，Lambert brdf的取样方法会尊重一个恒定值的pdf，它还涉及到位于渲染方程或LTE中的余弦因子。

漫反射的brdf是一个均匀分布的，而金属表面呈现出的高光项，更像是集中于一点向周围扩散，所以需要对某个方向进行重要性采样，就像是一个函数中间部分的权重，比两旁的权重占比更大

\[L_o\omega _o=\int{L_i\left( \omega _i \right) *f\left( \omega _i,\omega _o \right) *\cos \left( \theta _i \right) d\omega _i}
\]

由于对入射光的radiance了解极为困难，甚至不可能，我们唯一拥有的就是brdf和余弦系数。如果brdf和余弦系数的乘积是这个方程中的主导因素，那么上面提到的采样方法可能是有效的。在大多数时候，它在实践中是非常有效的。

然而，当brdf成为主导因素，且粗糙度为0时，默认的取样方法的效率就会迅速下降。对于这里的microfacet brdf，其极端形式就像dirac-delta函数（狄拉克δ函数），几乎不可能得到brdf为非零值的样本。而对于那些幸运的、有非零brdf值的样本，由于其概率低，可能会达到超高值，给采样结果带来高方差。换句话说，收敛率相当低，这正是我们看到上述图像的原因。它甚至可以被当作是一个bug。很明显，我们需要一个更好的方法来对这些microfacet brdfs进行采样。

微表面模型

Microfacet Model是这几年在实时渲染中比较热门的，它是基于物理的着色算法的基本原理。一般来说，它的基本形式是这样的。

\[f(ω_i,ω_o,x)=\frac{F(ω_i,h)G(ω_i,ω_o,h)D(h)}{4cos(θ_i)cos(θ_o)}
\]

第一个分量是Fresnel，第二个分量是几何项G项（Geometry Function，一般来说包含Geometry Obstruction和Geometry Shadowing），最后一个分量是正态分布函数（Normal Distribution Function，简称NDF）。与传统的bxdf模型相比，microfacet模型遵守能量守恒规则，允许艺术家通过一个参数而不是两个参数来改变材料的粗糙度，即镜面颜色和镜面功率。

在这个方程式的所有这些因素中，NDF项通常是最主要的。NDF的具体形状在很大程度上受到bxdf的粗糙度的影响。为了对microfacet brdf模型进行采样，通常是先对NDF进行采样，得到一个遵循NDF的随机microfacet法线，然后沿法线反射出射radiance，产生入射方向。

目前有几种NDF。本博客将介绍以下三种，所提到的都是各向同性（当旋转一定方位角时，能得到相同的BRDF）的。

GGX
Beckmann
Blinn

在我们继续之前，有一条规则是所有NDF应该遵循的。

\[\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1}
\]

我们将在下面的推导中使用这个方程。解释这个方程不在本博客的范围内，你们可以参考这里的进一步细节。公式的由来hows-the-ndf-really-defined/

NDF（补充）

NDF详细的定义可了解这篇文章（How Is The NDF Really Defined），文章中有对上述规则的说明

接下来介绍下面公式推导之前需要了解的

NDF遵循公式

\[dA_h=D(h)d\omega_hA\,\,\,\,\,(1)
\]

同时NDF的归一化条件：

\[\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1} \,\,\,\,\,(2)
\]

根据式(2)可知\(\int_{\varOmega}{D\left( m \right) \cos \left( \theta _m \right) d\omega =1}\)，因此\(D(h)cos(θ_h)\)，即表示当前所采取模型NDF的概率密度（pdf）

概率密度函数的转换有：\(p(θ,φ)=sinθp(ω)\)

GGX采样

下面是GGX的基本形式。

\[D\left( h \right) =\frac{\alpha ^2}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

因此，关于立体角的pdf是这样的。

\[p_h(ω) =\frac{\alpha ^2\cos \theta}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

我们通常不直接对立体角进行采样，而是用球面坐标来采样。所以我们感兴趣的不是关于立体角的pdf，而是关于球坐标的pdf。

\[p_h\left( \theta ,\phi \right) =sinθp_h(\omega)=\frac{\alpha ^2\cos \theta \sin \theta}{\pi \left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

下面的公式非常简单，基本上是根据特定的pdf进行抽样，反转法在本博客中适用于所有ndf。请注意，这个公式没有\(\pi\)，也就是说NDF是完全各向同性的，我们可以均匀地采样\(\pi\)。详细地证明，请参考这里。这里唯一剩下的是如何对\(\theta\)进行采样。为了做到这一点，我们需要先得到\(θ\)的pdf。

\[p_h\left( \theta \right) =\int_0^{2\pi}{p_h\left( \theta ,\phi \right) d\phi}=\frac{2\alpha ^2\cos \theta \sin \theta}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2\theta +1 \right) ^2}
\]

接下来我们来计算CDF(Cumulative Distribution Function)：

\[p_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\frac{2\alpha ^2\cos t\sin t}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}dt}
\]

\[=\int_\theta^{0}{\frac{2\alpha ^2\cos t}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}d\left( \cos t \right)}
\]

\[=\int_\theta^{0}{\frac{\alpha ^2}{\left( \left( \alpha ^2-1 \right) \cos ^2t+1 \right) ^2}d\left( \cos ^2t \right)}
\]

\[=-\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\int_\theta^{0}{d\frac{1}{\cos ^2t\left( \alpha ^2-1 \right) +1}}
\]

\[=\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\int_0^{\theta}{d\frac{1}{\cos ^2t\left( \alpha ^2-1 \right) +1}}
\]

\[=\frac{\alpha ^2}{\alpha ^2-1}\left( \frac{1}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) +1}-\frac{1}{\alpha ^2} \right)
\]

\[=\frac{\alpha ^2}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) ^2+\left( \alpha ^2-1 \right)}-\frac{1}{\alpha ^2-1}
\]

当一个标准随机数\(\epsilon\)等于这个CDF时，我们有以下方程:

\[\epsilon =\frac{\alpha ^2}{\cos ^2\theta \left( \alpha ^2-1 \right) ^2+\left( \alpha ^2-1 \right)}-\frac{1}{\alpha ^2-1}
\]

解这个方程不需要比初中数学多的知识，我想也没有必要把整个过程展示出来。上式的最终解为:

\(\theta =\mathrm{arc}\cos \sqrt{\frac{1-\epsilon}{\epsilon \left( \alpha ^2-1 \right) +1}}\) or \(\theta =\mathrm{arc}\tan \left( \alpha \sqrt{\frac{\epsilon}{1-\epsilon}} \right)\)

上述两个方程式是完全相同的东西。选择使用哪一个只是一个品味问题。

Beckmann采样

Beckmann抽样法的推导过程与上述过程十分相似。这是Beckmann分布：

\[D\left( h \right) =\frac{1}{\pi \alpha ^2\cos ^4\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}
\]

关于球面坐标的pdf是这样的：

\[p_h\left( \theta ,\phi \right) =\frac{\sin \theta}{\pi \alpha ^2\cos ^3\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}
\]

同理，\(\phi\)可以被均匀地采样。\(\theta\)的pdf应该是这样的

\[p_h\left( \theta \right) =\frac{2\sin \theta}{\alpha ^2\cos ^3\theta}e^{-\frac{\tan ^2\theta}{\alpha ^2}}
\]

\(\theta\)的CDF可以这样计算:

\[P_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\frac{2\sin \left( t \right)}{\alpha ^2\cos ^3t}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}dt
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{-2}{\alpha ^2\cos ^3t}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}d\left( \cos \left( t \right) \right)
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{-\frac{\tan ^2t}{\alpha ^2}}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right)
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right)
\\
=\int_0^{\theta}{\frac{1}{\alpha ^2}e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)}}d\left( \frac{1}{\cos ^2\left( t \right)} \right)
\\
=\int_{\theta}^0{d\left( e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2t} \right)} \right)}
\\
=1-e^{\frac{1}{\alpha ^2}\left( 1-\frac{1}{\cos ^2\theta} \right)}
\]

解决\(P_h(\theta)= \epsilon\)的方程可以得到以下解决方案。

\(\theta =\mathrm{arc}\cos \sqrt{\frac{1}{1-\alpha ^2\ln \left( 1-\epsilon \right)}}\) or \(\theta =\mathrm{arc}\tan \sqrt{-\alpha ^2\ln \left( 1-\epsilon \right)}\)

Blinn采样

这里是Blinn的NDF：

\[D\left( h \right) =\frac{\alpha +2}{2\pi}\left( \cos \theta \right) ^{\alpha}
\]

关于球面坐标的pdf是：

\[p_h\left( \theta ,\phi \right) =\frac{\alpha +2}{2\pi}\left( \cos \theta \right) ^{\alpha +1}\sin \theta
\]

分离\(\phi\)可以得到以下结果：

\[p_h\left( \theta \right) =\left( \alpha +2 \right) \left( \cos \theta \right) ^{\alpha +1}\sin \theta
\]

这个比前两个简单多了，这是CDF:

\[P_h\left( \theta \right) =\int_0^{\theta}{\left( \alpha +2 \right) \cos \left( t \right) ^{\alpha +1}\sin \left( t \right) d\left( t \right)}
\\
=\int_{\theta}^0{\left( \alpha +2 \right) \cos \left( t \right) ^{\alpha +1}d\left( \cos \left( t \right) \right)}
\\
=\int_{\theta}^0{d\left( \cos \left( t \right) ^{\alpha +2} \right)}
\\
=1-\cos \left( \theta \right) ^{\alpha +2}
\]

以下是经典随机数与\(\theta\)之间的关系

\[\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \left( 1-\epsilon \right) ^{\frac{1}{\alpha +2}} \right)
\]

由于\(\epsilon\)是一个经典的随机数，\(1-\epsilon\)也是一个。因此，我们可以用下面的方程式来简化上述方程式。

\[\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \epsilon^{\frac{1}{\alpha +2}} \right)
\]

关于这种抽样方法，再多说一点。我对这个解决方案不太自信，尽管我看不出这个推导有什么问题。PBRT（Physically Based Rendering: From Theory to Implemention 3rd）对Blinn给出了一个类似的解决方案，这就是：

\[\theta =\mathrm{arc}\cos \left( \epsilon^{\frac{1}{\alpha +1}} \right)
\]

而另一个开源的光线追踪器Mitsuba也采用了这种采样方式。我不太理解书中的推导，所以我就坚持用这个，也是这里提到的那个。我试了一下pbrt的取样方式，从图片上可以看出只有微小的差别。

一个额外的步骤

还有一步没有完成。我们感兴趣的是入射方向的采样，而不是法线。我们之所以直接对法线而不是入射方向进行采样，是因为NDF通常是microfacet模型中的主导因素。在对法线采样后生成入射方向是比入射方向本身采样更有效的方法。

然而，我们计算给定入射方向的PDF的方式与上述尊重半向量的方式不同，无论是实体角还是球面坐标。到目前为止，我们所拥有的是半向量的PDF，一个转换是必要的。

\[p\left( \theta \right) =p_h\left( \theta \right) \frac{d\omega _h}{d\omega _i}=\frac{p_h\left( \theta \right)}{4\left( \omega _o·\omega _h \right)}
\]