heap 是一种 隐式数据结构 (implicit data structure).
用 完全二叉树 表示的 heap 在数组中 隐式储存 (没有明确的指针或其他数据能够用来重塑这种结构).
由于没有储存 结构信息, 这种表示方法的空间利用率很高 (没有浪费任何空间); 又由于用数组形式储存, 它的时间效率也很高.
由于是 完全二叉树, 自然满足如下性质:
不失一般性, 存在如下图一个大根堆.
假设现在要删除 heap[current]
, 那么我们要做的核心步骤是:
heap[current]
的 children 中较大的那个 (我们假设那个结点是 heap[child]
) 移动到 heap[current]
的位置;这时 heap[child]
相当于 "空" 的状态,
因此顺理成章地利用递归或迭代, 再把 heap[child]
当作新的 heap[current]
而反复执行核心步骤.
应当将 child
小于 heapSize
作为限制 iteration 或 recursion 继续进行的条件.
然而, 如果我们使用上述逻辑 pop 上图中的 heap[1]
:
heap[1]
;heap[2]
;heap[4]
;heap[8]
为空;为满足 定义 1 和 定义 2, 此时若将 lastElement = 41
填入 heap[8]
, 则 heap[4] = 30
小于 heap[8] = 41
, 与 定义 1 产生冲突.
为什么会出现这样的问题呢?
根据 定义 1:
[max(min) tree] 一棵树, 其中每个结点的值都大于(小于)或等于其 children (如果有)的值.
我们应该明确一点:
如上图, 尽管 heap[11]
在 level 4; 但仍比处于 level 2 的 heap[3]
大.
这就是为什么在 pop 或者 remove 时, 我们需要更加复杂的方法进行 重构.
2.1. 提出的问题不建议使用 recursion 解决; 因为如果用 iteration, 只要在循环体中添加一步简单的判断就即可.
再次观察前文的大根堆:
我们发现, 冲突的产生本质上是因为,
尽管 heap[4]
是 silblings 中较大的那个, 但它的 child heap[8]
并没有其 sibling (也就是 heap[5]
) 的 child heap[11] = lastElement
大.
那么, 我们只要在保持核心逻辑的同时, 一旦发现 heap[current]
的较大 child 比 lastElement
小, 那就结束循环, 把 lastElement
填入 heap[current]
! 后面的就不用管了!
如果没找到……那就继续循环, 循环到底, 把 lastElement
填到最下面就好.
pop最顶端元素(root).
template
void maxHeap
if (heapSize == 0) throw queueEmpty();
// Delete the largest element.
heap[1].~T();
// Delete the last element and re-construct the heap.
T lastElement = heap[heapSize];
heap[heapSize--].~T();
// Starting from the root, find location for the last element.
int current = 1,
child = 2;
// Loop until the end.
while (child <= heapSize) {
// "child" should be the larger child of "current"
if (child < heapSize && heap[child] < heap[child + 1]) { child++; }
// IF: "current" points to a node whose child is smaller than "lastElement",
// indicating that "lastElement" can be put in "heap[current]".
if (lastElement >= heap[child]) {
// End loop.
break;
}
// OTHERWISE.
else {
heap[current] = heap[child];
current = child;
// Move "child" to its child.
child << 1;
}
}
heap[current] = lastElement;
}
remove下标为 i 的元素.
template
T maxHeap
if (heapSize == 0) throw queueEmpty;
T theDeleted = heap[i];
T lastElement = heap[heapSize];
heap[heapSize].~T();
int current = i, child = i << 1;
while (child <= heapSize) {
// Make sure "child" points to the larger one between the sublings.
if (child < heapSize && heap[child] < heap[child + 1]) {
child++;
}
// IF: "current" points to a node whose child is smaller than "lastElement",
// indicating that "lastElement" can be put in "heap[current]".
if (lastElement >= heap[child]) {
// End loop.
break;
}
// OTHERWISE.
else {
heap[current] = heap[child];
current = child;
child <<= 1;
}
}
heap[current] = lastElement;
return theDeleted;
}
对于方法 pop
, 遍历只迭代至 left/right child, 因此时间复杂度为:
\[O(\log{n})
\]
方法 remove
的复杂度取决于目标 node 的 descendent 的数量.
root
从最后一个 node 的 parent node 开始向根迭代, 直至 max heap 真正的根;
对于迭代中的每个 root
, child
从其 child node 开始向 descendent 迭代 (迭代需要保证 child
指向 siblings 中较大的那个):
若 rootElement
小于 child
的元素, 则 child
继续向 descendent 迭代, 同时将 child
的元素覆盖至 child/2
;
若 rootElement
大于等于 child
的元素, 则 child
终止迭代, 同时将 rootElement
存入 child/2
;
template
void maxHeap
{
delete[] heap; // Empty the memory of "T* maxHeap
heap = theHeap; // Make "heap" points to "theHeap".
heapSize = theSize; // Set the "heapSize".
// 'root' would iterates from {heapSize/2 (parent of the last element)} and keep decreasing until reaches real root.
for (int root = heapSize / 2; root >= 1; root--) {
// Pick up the current element of 'root'.
T rootElement = heap[root];
int child = 2 * root;
// 'child' iterates from the child of current root to end, but cannot be larger than 'heapSize'.
for (; child <= heapSize; child *= 2) {
// Ensure 'heap[child]' is the larger one between the siblings.
if (child < heapSize && heap[child] < heap[child + 1]) { child++; }
if (rootElement >= heap[child]) { // IF: 'rootElement' can be put in 'heap[child/2]'.
break;
}
// IF: "rootElement" cannot be put in "heap[child/2]".
// Move 'heap[child]' to 'heap[child/2]'.
heap[child/2] = heap[child];
// Re-allocate the next level to 'child'.
}
heap[child / 2] = rootElement;
}
}
假设元素个数为 \(n\), 高度为 \(h\).
root
从 \(n/2\) 开始迭代, 因此从元素上看总共迭代了 \(n/2\) 次, 从层数上看总共迭代了 \(h-1\) 层.\[O(\sum_{j=1}^{h-1}{2^{j-1}(h-j+1)}) = O(\sum_{k=2}^{h}{2^{h-k}k})=O(2^h\sum_{k=2}^{h}{\frac{k}{2^k}})=O(2^h)
\]
因为有 \(n\) 个元素的 complete binary tree 的高度为 \(h= \lceil \log_{2}{(n+1)} \rceil\), 因此:
\[O(2^h)=O(2^{\lceil \log_{2}{(n+1)} \rceil})=O(n)
\]
由于外层 for 循环从元素上看迭代了 \(n/2\) 次, 所以复杂度下限为 \(\Omega(n)\).
综上, 方法 initialize
的复杂度为:
\[\Theta(n)
\]
Reference | Data Structures, Algoritms, and Applications in C++, Sartaj Sahni
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