LGV 引理
（其实是贺的：https://www.luogu.com.cn/paste/whl2joo4）
目录
LGV 引理，即 Lindström–Gessel–Viennot lemma .
一个带权 DAG \(G\) 中有起点集 \(A=\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\)，终点集 \(B=\{b_1, b_2, \cdots, b_n\}\) .
不相交路径定义为：一组 \(u\to v\) 的不相交路径 \(P=(P_1,P_2,\cdots,P_n)\)，满足 \(P_i\) 是一条 \(a_i\) 到 \(b_{\sigma(P)_i}\) 的路径，其中 \(\sigma(P)\) 是 \(P\) 对应的排列 .
且对于任意 \(i\neq j\)，\(P_i, P_j\) 无公共点（即不相交）
令 \(\omega(P)\) 为路径 \(P\) 上所有边权的积 .
对顶点 \(u,v\)，定义
\[e(u,v) = \sum_{P:a \to b}{\omega(P)}
\]令 \(\tau(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对个数 .
令矩阵
\[M=\begin{bmatrix}e(a_1, b_1) & e(a_1, b_2) & \cdots & e(a_1, b_n) \\ e(a_2, b_1) & e(a_2, b_2) & \cdots & e(a_2, b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e(a_n, b_1) & e(a_n, b_2) & \cdots & e(a_n, b_n)\\\end{bmatrix}
\]则有
\[\boxed{\det(M)=\sum_{P:A\to B}{(-1)^{\tau(P)}\prod_{i=1}^{n}\omega(P_i)}}
\]
证明：
展开行列式的定义，得 LGV 引理等价于
\[\sum_p (-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^ne(a_i, b_{p(i)})=\sum_{P:A\to B}{(-1)^{\tau(P)}\prod_{i=1}^{n}\omega(P_i)}
\]
其中 \(p\) 是一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列 .
妈呀左右两边长得这么像！
观察组合意义！我们可以发现：
- LHS 其实就是选 \(n\) 条起点和终点分别互不相同的路径，然后把他们的带符号和加起来 .
- RHS 几乎一样，只不过 \(\displaystyle \sum_p\) 变成了 \(\displaystyle \sum_{P:A\to B}\)，也就是要求路径不相交 .
故我们考虑构造双射 .
如果两个人的路径相交了，我们可以将相交后的部分取反，就相当于这两人分别走到了对方的终点去 . 这样是不是就不交了！！
是不是很平凡！ 证明真牛逼 orz .
AJH 大佬说边权只要是交换环就行，也就是说可以是 GF .
太强了 orz
LGV 引理的直接应用 .
有一个图 \(G\) 是 平面图 且是 DAG .
从每个 \(a_i\) 到 \(b_i\)，在满足路径不交的前提下，所有方案中路径边权乘积之和 .
是不是就是板子啊 .
你用一种方法算出 \(e\)，然后是不是构造出 \(M\) 高斯消元求行列式就完了 .
为什么要是平面图？
一般的 LGV 题符合要求的匹配只有一组（e.g. 网格图），因此按照匹配的顺序列矩阵求出的就是不交路径数量 .
然而如果不是平面图，直接求 \(\det(M)\) 其实并不一定是不交路径数量 .
具体可以看 NOI2021 路径交点 .
Luogu6657. 【模板】LGV 引理
link: https://www.luogu.com.cn/problem/P6657
一个 \(n\times n\)，每步只能往右下走 .
\(m\) 个棋子，初始在 \((a_i,1)\)，要到 \((b_i,n)\) .
求不交路径方案数，对 \(998244353\) 取模 .
不相交路径计数 弱化版 .
显然对于任何一个路径，\(\omega(P)=1\)，这样我们才能计数嘛 .
因为是网格图，所以拿出我们老生常谈的网格图两点路径计数：
\[e(u,v)=\dbinom{v-u+n-1}{n-1}
\]
（因为从 \((x_1,y_1)\) 到 \((x_2,y_2)\) 的方案数是 \(\dbinom{x_2-x_1+y_2-y_1}{x_2-x_1}\)）
然后预处理阶乘及其逆元算 binom，然后高斯消元求行列式就完了 .
时间复杂度 \(O(n+m^3)\) .
CF348D Turtle
link: https://codeforces.com/contest/348/problem/D
网格图去掉一些点，两个点从 \((1,1)\) 走到 \((n,m)\)，求不交路径数取模 \(10^9+7\) .
大力 LGV 引理 .
把两个相同起始点拆开，起点拆成 \((1,2)\)，\((2,1)\)，终点拆成 \((n-1,m)\)，\((n,m-1)\) .
然后 LGV 引理可得一个二阶行列式，对角线法则乘开即可 .
然后变成带限制路径计数，做四边 DP 即可 .
时间复杂度 \(O(nm)\) .
Monotonic Matrix
link: https://www.nowcoder.com/acm/contest/139/A
求满足以下条件 \(n\times m\) 矩阵的数量：
- \(A_{i,j}\in\{0, 1, 2\}\) .
- \(A_{i,j}\le A_{i,j+1}\)，\(A_{i,j}\le A_{i+1,j}\) .
对 \(10^9+7\) 取模 .
从起点 \((0,0)\) 终点 \((n,m)\) 画一条非降路径，然后 \(0,1\) 是沿着网格走的过程 .
从起点 \((-1,1)\) 终点 \((n-1,m+1)\) 画一条非降路径，然后 \(1,2\) 是沿着网格走的过程 .
然后用 LGV 引理算出不交的路径的方案数即可 .
然而这玩意也是二阶行列式，就是几个组合数乘一下减一下 .
时间复杂度在于求组合数 .
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