本文问题参考自文献 \(^{[1]}\) 第一章例 6,并假设了一些条件,基于 OpenFOAM-v2206
编写程序数值上求解该问题。笔者之前也写过基于 OpenFOAM
求解偏分方程的帖子,OpenFOAM 编程 | One-Dimensional Transient Heat Conduction。
假设一群山猫(捕食者)和一群山兔(被捕食者)生活在同一片区域,那么我们可以知道,山猫吃了山兔,繁殖力会增强,山猫的数量会增加。这样一来,山兔的数量会随之减少。接下来,山猫由于食物短缺而数量减少,进而导致山兔遇到山猫的机会减少(被吃掉的概率降低),结果山兔的数量又逐渐增加,这样山猫得到食物的机会也随之增加,其数量又再一次增加,而山兔的数量又会再一次随之减少,如此不断循环。
设任意 \(t\) 时刻山兔与山猫的数量分别是 \(\phi\) 和 \(\psi\) ,二者的变化服从下面动力学方程
\[\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} &= k_1 \phi - \mu\phi\psi \\
\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} &= \nu\phi\psi - k_2 \psi
\end{aligned}
\tag1
\]
其中,\(k_1\),\(k_2\),\(\mu\) 和 \(\nu\) 都是正常数。
在上述方程中有几点需要注意:
方程组(1)因为含有乘积项,因此是非线性的。现采用线性化的特殊方法求解,即研究种群数量 \(\phi\) 和 \(\psi\) 在其稳定值附近的微小涨落。设方程组(1)的稳态解为 \(\phi=\phi_0\),\(\psi=\psi_0\),它们由下面条件决定
\[\begin{aligned}
\left . \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \right |_{\phi=\phi_0,\psi=\psi_0} &= 0 \\
\left . \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} \right |_{\phi=\phi_0,\psi=\psi_0} &=0
\end{aligned}
\]
也就是
\[\begin{aligned}
k_1 \phi_0 - \mu\phi_0\psi_0 &= 0 \\
\nu\phi_0\psi_0 - k_2 \psi_0 &=0
\end{aligned}
\tag2
\]
代数方程(2)的解为
\[\begin{aligned}
\phi_0 &= \frac{k_2}{\nu} \\
\psi_0 &=\frac{k_1}{\mu}
\end{aligned}
\]
现在,将方程组(1)的解写为下面形式
\[\begin{aligned}
\phi &= \phi_0+ \xi \\
\psi &= \psi_0 + \eta
\end{aligned}
\]
其中,\(\xi\) 和 \(\eta\) 与 \(\phi_0\) 和 \(\psi_0\) 相比都是小量。将上述解带入方程组(1)中可以得到关于变量 \(\xi\) 和 \(\eta\) 的方程组
\[\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} &= k_1\xi-\mu\phi_0\eta-\mu\psi_0\xi-\mu\xi\eta\\
\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t} &= \nu\phi_0\eta + \nu\psi_0\xi - k_2\eta+\nu\xi\eta
\end{aligned}
\tag3
\]
其中非线性项 \(\mu\xi\eta\) 和 \(\nu\xi\eta\) 为二阶小量,可以忽略;再将稳态解代入可得线性化的耦合方程组
\[\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} &= -k_2\frac{\mu}{\nu}\eta\\
\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t} &= k_1\frac{\nu}{\mu}\xi
\end{aligned}
\]
解耦后可得到
\[\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2} +k_1k_2\xi&= 0\\
\frac{\mathrm{d}^2\eta}{\mathrm{d}t^2} +k_1k_2\eta&= 0
\end{aligned}
\tag4
\]
可以知道,式(4)与 L-C 震荡电路及单摆问题同属于相同的数学模型
\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + k^2 y = 0
\]
其通解为
\[y(t) = E\sin(kt+\delta)\ \ \ \ 或\ \ \ \ y(t) = E\cos(kt+\delta)
\]
其中,\(E\) 和 \(\delta\) 为振幅和初相位,与具体问题有关。
那么我们也可以得到本问题的最终解的形式为
\[\begin{aligned}
\phi &= \frac{k_2}{\nu} + E_1 \sin\left(\sqrt{k_1k_2}t+\delta_1\right)\\
\psi &= \frac{k_1}{\mu} +E_2 \sin\left(\sqrt{k_1k_2}t+\delta_2\right) \\
\end{aligned}
\]
其中,每个公式中振幅与初相位取决于各自的初始条件。
从上一节可知,我们需要数值求解一个耦合的常微分方程组,可以用RungeKutta法\(^{[2]}\)。简单推导过程如下:
\[\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} &= f_1\left( \phi,\psi \right) \\
\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t} &= f_2\left( \phi,\psi \right) \\
\end{aligned}
\]
其中,
\[\begin{aligned}
f_1\left( \phi,\psi \right) &= k_1 \phi - \mu\phi\psi \\
f_2\left( \phi,\psi \right) &= \nu\phi\psi - k_2 \psi \\
\end{aligned}
\]
四阶Runge-Kutta方法可以表示为:
\[\begin{aligned}
\phi^{k+1} &= \phi^{k} + \frac{\Delta t}{6} \left( f_{11} + 2f_{12} + 2f_{13} + f_{14} \right) \\
\psi^{k+1} &= \psi^{k} + \frac{\Delta t}{6} \left( f_{21} + 2f_{22} + 2f_{23} + f_{24} \right) \\
\end{aligned}
\]
其中,
\[\begin{aligned}
f_{i1} &= f_i \left( \phi_k, \psi_k \right) \\
f_{i2} &= f_i \left( \phi_k+\frac{\Delta t}{2}f_{11}, \psi_k+\frac{\Delta t}{2}f_{21} \right) \\
f_{i3} &= f_i \left( \phi_k+\frac{\Delta t}{2}f_{12}, \psi_k+\frac{\Delta t}{2}f_{22} \right) \\
f_{i4} &= f_i \left( \phi_k+{\Delta t}f_{11}, \psi_k+{\Delta t}f_{21} \right) \\
\end{aligned}
\ \ \ \ i=1,2
\]
求解代码采用 Python
编写,如下所示
#!/usr/bin/python3
# -*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np
k1 = 0.7
k2 = 0.5
mu = 0.1
nu = 0.02
def f1(phi,psi):
return k1*phi-mu*phi*psi
def f2(phi,psi):
return nu*phi*psi-k2*psi
tStart = 0
tEnd = 100.0
n = 100000
deltaT = tEnd / n
halfDeltaT = deltaT / 2.0
Solution = np.ndarray([n+1,2])
Solution[0] = [30,20]
for i in range(n):
f11 = f1(Solution[i][0], Solution[i][1])
f21 = f2(Solution[i][0], Solution[i][1])
f12 = f1(Solution[i][0] + halfDeltaT * f11, Solution[i][1] + halfDeltaT * f21)
f22 = f2(Solution[i][0] + halfDeltaT * f11, Solution[i][1] + halfDeltaT * f21)
f13 = f1(Solution[i][0] + halfDeltaT * f12, Solution[i][1] + halfDeltaT * f22)
f23 = f2(Solution[i][0] + halfDeltaT * f12, Solution[i][1] + halfDeltaT * f22)
f14 = f1(Solution[i][0] + deltaT * f11, Solution[i][1] + deltaT * f21)
f24 = f2(Solution[i][0] + deltaT * f11, Solution[i][1] + deltaT * f21)
Solution[i+1][0] = Solution[i][0] + deltaT / 6.0 * (f11 + 2*f12 + 2*f13 + f14)
Solution[i+1][1] = Solution[i][1] + deltaT / 6.0 * (f21 + 2*f22 + 2*f23 + f24)
print((i+1)*deltaT,Solution[i+1][0],Solution[i+1][1])
使用OpenFOAM
数值求解常微分方程(组)主要用到 ODESystem.H
(构造微分方程系统)和 ODESolver.H
(求解器);此外,在 OpenFOAM
中需要对常微分方程(组)进行整理\(^{[3]}\),进而方便编写代码进行求解。
对于任意阶常微分方程可以转化为一系列一阶常微分方程,这个过程称为降阶,一阶常微分方程的个数与原方程的阶数相等(对于耦合常微分方程组,其阶数等于所有方程阶数之和)。对于某个 \(n\) 阶常微分方程,可按下面形式降阶
\[y^{(n)}(x) = f \left( x, y^{(0)}, y^{(1)},\ldots,y^{(n-1)} \right)
\]
其中,\(n\) 为阶数,\(y^{(0)}=y\) 。
进一步,引入符号 \(\mathrm{D}\) 对各阶导数重新定义,此过程称为转换
\[\mathrm{D}_j = y^{(j-1)}\ \ \ \ j=1,2,\ldots,n-1
\]
最终,使用新符号重新表达原系统,此过程称为诱导
\[\begin{aligned}
\mathrm{D}'_j &= \mathrm{D}_{j+1} \\
\mathrm{D}'_n = y^{(n)} &= f\left( x, \mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2,\ldots,\mathrm{D}_n \right)
\end{aligned}
\]
在 OpenFOAM
中,存在另外一个过程,该过程仅与刚性系统求解器相关,这类求解器需要雅可比矩阵和对自变量的偏导数,即
\[J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial \mathrm{D}'_1}{\partial \mathrm{D}_1} & \frac{\partial \mathrm{D}'_1}{\partial \mathrm{D}_2} & \cdots & \frac{\partial \mathrm{D}'_1}{\partial \mathrm{D}_n}\\
\frac{\partial \mathrm{D}'_2}{\partial \mathrm{D}_1} & \frac{\partial \mathrm{D}'_2}{\partial \mathrm{D}_2} & \cdots & \frac{\partial \mathrm{D}'_2}{\partial \mathrm{D}_n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial \mathrm{D}'_n}{\partial \mathrm{D}_1} & \frac{\partial \mathrm{D}'_n}{\partial \mathrm{D}_2} & \cdots & \frac{\partial \mathrm{D}'_n}{\partial \mathrm{D}_n}\\
\end{bmatrix}
\ \ \ \ 和 \ \ \ \
\frac{\partial \mathrm{D}'_1}{\partial x},\frac{\partial \mathrm{D}'_2}{\partial x}, ,\ldots, \frac{\partial \mathrm{D}'_n}{\partial x}
\]
接下来,我们看一下如何实现相关求解代码。首先看一下如何构造方程系统。系统代码需要继承 Foam::ODESystem
抽象类,并且需要全部实现三个方法nEqns()
、 derivatives()
和 jacobian()
,其中 jacobian()
方法对于非刚性求解器可以将实现置空(空函数体)。
让我们重新回顾一下公式(1),可知 nEqns()
应该返回 2;此外, 定义 \(Y=[\phi,\psi]^{\mathrm{T}}\) ,公式(1)可整理成如下向量形式
\[\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t} =
\begin{bmatrix}
k_1 & -\mu\phi \\
\nu\psi & -k_2 \\
\end{bmatrix}
Y
\]
因此,导数可按照公式(1)编写即可,只不过需要注意是向量形式。最后,对应之前的描述的降阶过程,可以知道
\[Y' = f\left( t, Y\right)
\]
进而可以知道, \(D_1 = Y, D'_1=Y'\),可得到雅可比矩阵和对自变量的偏导数分别为
\[\frac{\partial \mathrm{D}'_1}{\partial \mathrm{D}_1} = \frac{\partial Y'}{\partial Y} =
\begin{bmatrix}
k_1 & -\mu\phi \\
\nu\psi & -k_2 \\
\end{bmatrix},\ \ \ \
\frac{\partial \mathrm{D}'_1}{\partial t} = 0
\]
需要注意的是,雅可比矩阵只有一个元素 \(\frac{\partial \mathrm{D}'_1}{\partial \mathrm{D}_1}\),只不过这个元素是一个块的形式。
具体代码实现如下所示
#include "ODESystem.H"
class ODEs : public Foam::ODESystem
{
public:
ODEs() {}
~ODEs() {}
// 初始化参数
ODEs(const Foam::scalar k1, const Foam::scalar mu, const Foam::scalar k2,
const Foam::scalar nu)
{
k1_ = k1;
mu_ = mu;
k2_ = k2;
nu_ = nu;
}
// 方程个数
Foam::label nEqns() const override { return 2; }
// 求导
void derivatives(const Foam::scalar x, const Foam::scalarField& y,
Foam::scalarField& dydx) const override
{ // 两个未知量存成向量,y[0] -> \phi, y[1] -> \psi
dydx[0] = k1_ * y[0] - mu_ * y[0] * y[1];
dydx[1] = nu_ * y[0] * y[1] - k2_ * y[1];
}
// 计算符号的雅可比矩阵和关于自变量的导数
void jacobian(const Foam::scalar x, const Foam::scalarField& y, Foam::scalarField& dfdx,
Foam::scalarSquareMatrix& dfdy) const override
{
dfdx[0] = 0;
dfdx[1] = 0;
dfdy[0][0] = k1_;
dfdy[0][1] = -mu_ * y[0];
dfdy[1][0] = nu_ * y[1];
dfdy[1][1] = -k2_;
}
private:
Foam::scalar k1_;
Foam::scalar mu_;
Foam::scalar k2_;
Foam::scalar nu_;
};
对应的,我们实现下主函数
#include <iostream>
#include <memory>
#include "ODESystem.H"
#include "ODESolver.H"
class ODEs : public Foam::ODESystem
{
// 这里的代码在上边已经介绍,此处省略
};
int main(int argc, char* argv[])
{
const Foam::scalar startTime = 0.0; // 开始时间
const Foam::scalar endTime = 100.0; // 结束时间
const Foam::scalar phi0 = 30; // 山兔初始值
const Foam::scalar psi0 = 20; // 山猫初始值
const Foam::label n = 100000; //
const Foam::scalar deltaT = endTime / n; // 步长
// 系数,参考自文献[4]
const Foam::scalar k1 = 0.7;
const Foam::scalar mu = 0.1;
const Foam::scalar k2 = 0.5;
const Foam::scalar nu = 0.02;
// 构造对象
ODEs odes(k1, mu, k2, nu);
// 构造求解器,具体使用的算法通过参数传递
Foam::dictionary dict;
dict.add("solver", argv[1]);
Foam::autoPtr<Foam::ODESolver> solver = Foam::ODESolver::New(odes, dict);
// 初始化一些变量
Foam::scalar tStart = startTime;
Foam::scalarField PhiPsi(odes.nEqns()); // 因变量
PhiPsi[0] = phi0;
PhiPsi[1] = psi0;
Foam::scalarField ddt(odes.nEqns()); // 保存导数值
// 计算过程
for (Foam::label i = 0; i < n; ++i)
{
Foam::scalar dtEst = deltaT / 2;
Foam::scalar tEnd = tStart + deltaT;
//
odes.derivatives(tStart, PhiPsi, ddt);
solver->solve(tStart, tEnd, PhiPsi, dtEst);
//
tStart = tEnd;
//
Foam::Info << tStart << "," << PhiPsi[0] << "," << PhiPsi[1] << Foam::endl;
}
return 0;
}
此外,CMakeLists.txt
文件可参考笔者之前的随笔,如 OpenFOAM编程 | Hello OpenFOAM 和 OpenFOAM 编程 | One-Dimensional Transient Heat Conduction,此处不再赘述。
笔者通过命令行参数分别采用RKCK45
算法和 seulex
算法(需要用到雅可比矩阵)对该问题进行求解,从下图可见二者求解得到的结果是一致的。
同时运行笔者之前提到的 Python
代码后得到的数值结果与 OpenFOAM
计算结果绘制在同一张图中,二者高度重合。
同时,解析解法(线性化的特殊解法)得到的结论是二者均按照 \(\sqrt{k_1k_2}\) 圆频率震荡,那么对应的周期为 $T = 2\pi / \sqrt{k_1k_2} = 2 \pi / \sqrt{0.7*0.5} \approx 10.62 $,而数值解中得到的周期为 12.425,笔者认为在本文的条件假设下,其中的差距来自于线性解法中没有考虑非线性,但这个解法仍然具有实际意义。
另外,感兴趣的读者可以尝试使用 Matlab
或 GNU Octave
求解该问题。
[1] 顾樵. 数学物理方法[M]. 北京:科学出版社, 2012.
[2] Chenglin LI.数值计算(四十七)RungeKutta求解常微分方程组
[3] Hassan Kassem. How to solve ODE in OpenFOAM
[4] 捕食者与被捕食者模型——logistic-volterra
防止迷路,请关注笔者博客 博客园@Fiatanium。
喜欢的朋友还请点赞、收藏、转发,您的支持将是笔者创作的最大动力。
手机扫一扫
移动阅读更方便
你可能感兴趣的文章