题目

洛谷：P1115 最大子段和

LeetCode：最大子序和

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

挺经典的一道题目，下面分别介绍 \(O(n)\) 的 DP 做法、前缀和做法，以及 \(O(n\log n)\) 的分治做法。

DP 做法

用 \(d_i\) 表示结尾为位置 \(i\) 的最大区间和，则有

\[d_i=\max(d_{i-1},0)+a_i
\]

问题的答案即为 \(\max\{d_i \mid i\in[1,n]\}\)。

编写代码时不需要开 \(d\) 数组，用变量 last_d 记录 \(d_{i-1}\)，变量 ans 记录 \(\max\{d_i\}\)，并在扫描时动态更新即可。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

核心代码如下：

maxn = int(2e5 + 5)
arr = [0 for _ in range(maxn)]  # 从下标 1 开始存

# 输入过程略……

ans = None
last_d = 0
for i in range(1, n + 1):
    temp_ans = max(last_d, 0) + arr[i]
    if ans is None or temp_ans > ans:
        ans = temp_ans
    last_d = temp_ans
print(ans)

前缀和做法

将数列前 \(n\) 项的和记为 \(sum_n\)：

\[sum_n=\sum_{i=1}^n a_i
\]

可以用前缀和快速求区间和：

\[\sum_{i=x}^y a_i = sum_y - sum_{x-1}
\]

用 \(d_i\) 表示结尾为位置 \(i\) 的最大区间和，则有

\[d_i=sum_i-\min\{sum_j \mid j<i\}
\]

问题的答案即为 \(\max\{d_i \mid i \in [1,n]\}\)。

编写代码时只需要开前缀和数组，无需开 \(d\) 数组，用变量 cur_min_pre_sum 记录 \(\min\{sum_j\}\)，变量 ans 记录 \(\max\{d_i\}\)，并动态维护即可。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。

核心代码如下：

maxn = int(2e5 + 5)
arr = [0 for _ in range(maxn)]  # 原数组，从下标 1 开始存
pre_sum = [0 for _ in range(maxn)]  # 前缀和数组

# 输入过程略……

# 预处理前缀和
for i in range(1, n + 1):
    pre_sum[i] = pre_sum[i - 1] + arr[i]

cur_min_pre_sum = 0
ans = None
for i in range(1, n + 1):
    temp_ans = pre_sum[i] - cur_min_pre_sum
    if ans is None or temp_ans > ans:
        ans = temp_ans
    cur_min_pre_sum = min(cur_min_pre_sum, pre_sum[i])
print(ans)

分治做法

若有一区间 \([start,stop)\)，区间中点为 \(mid\)，其最大子段和对应的子区间为 \([i,j)\)，则 \([i,j)\) 只有以下三种情况：

1. \([i,j)\) 完全在左子区间 \([start,mid)\) 内；
2. \([i,j)\) 完全在右子区间 \([mid,stop)\) 内；
3. \([i,j)\) 横跨中点 \(mid\)。

求出这三种情况下的值，取最大的即可。

前两种情况可通过递归求解，求解第三种情况需要一点技巧，方法是从中点出发分别向左右两边延伸。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

核心代码如下：

maxn = int(2e5 + 5)
arr = [0 for _ in range(maxn)]  # 从下标 1 开始存

# 从位置 mid - 1 开始向左延伸的最大区间和
# 注：左子区间 [start, mid)
def mid_lmax(start: int, mid: int) -> int:
    ans = None
    cur_sum = 0
    for i in range(mid - 1, start - 1, -1):
        cur_sum += arr[i]
        if ans is None or cur_sum > ans:
            ans = cur_sum
    return ans

# 从位置 mid 开始向右延伸的最大区间和
# 注：右子区间 [mid, stop)
def mid_rmax(mid: int, stop: int) -> int:
    ans = None
    cur_sum = 0
    for i in range(mid, stop):
        cur_sum += arr[i]
        if ans is None or cur_sum > ans:
            ans = cur_sum
    return ans

# [start, stop) 的最大子区间和
def solve(start: int, stop: int) -> int:
    if stop - start == 1:
        return arr[start]
    mid = (start + stop) // 2
    only_lmax = solve(start, mid)  # 完全在左子区间内
    only_rmax = solve(mid, stop)  # 完全在右子区间内
    span_max = mid_lmax(start, mid) + mid_rmax(mid, stop)  # 横跨中点
    return max(only_lmax, only_rmax, span_max)