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论文标题：Learning Graph Embedding with Adversarial Training Methods
论文作者：Shirui Pan, Ruiqi Hu, Sai-fu Fung, Guodong Long, Jing Jiang, Chengqi Zhang
论文来源：2020, ICLR
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1 Introduction

　　众多图嵌入方法关注于保存图结构或最小化重构损失，忽略了隐表示的嵌入分布形式，因此本文提出对抗正则化框架（adversarially regularized framework）。

2 Method

　　ARGA 框架如下：

　　

　　组成部分：

• * Graph convolutional autoencoder

  • Adversarial regularization

    　　一个频谱卷积函数 $f\left(\mathbf{Z}^{(l)}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}^{(l)}\right)$ :

    　　　　$\mathbf{Z}^{(l+1)}=f\left(\mathbf{Z}^{(l)}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}^{(l)}\right)  \quad\quad\quad(1)$

    　　采用GCN :

    　　　　$f\left(\mathbf{Z}^{(l)}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}^{(l)}\right)=\phi\left(\widetilde{\mathbf{D}}^{-\frac{1}{2}} \widetilde{\mathbf{A}} \widetilde{\mathbf{D}}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{Z}^{(l)} \mathbf{W}^{(l)}\right) \quad\quad\quad(2)$

    　　图编码器

    　　　　$\mathbf{Z}^{(1)}=f_{\text {Relu }}\left(\mathbf{X}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}^{(0)}\right)  \quad\quad\quad(3)$
    　　　　$\mathbf{Z}^{(2)}=f_{\text {linear }}\left(\mathbf{Z}^{(1)}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}^{(1)}\right) \quad\quad\quad(4)$

    　　我们的图卷积编码器 $\mathcal{G}(\mathbf{Z}, \mathbf{A})=   q(\mathbf{Z} \mid \mathbf{X}, \mathbf{A}) $ 将图结构和节点内容编码为一个表示的 $\mathbf{Z}=q(\mathbf{Z} \mid \mathbf{X}, \mathbf{A})=\mathbf{Z}^{(2)}$。

    　　　　$q(\mathbf{Z} \mid \mathbf{X}, \mathbf{A})=\prod\limits_{i=1}^{n} q\left(\mathbf{z}_{\mathbf{i}} \mid \mathbf{X}, \mathbf{A}\right) \quad\quad\quad(5)$

    　　　　$q\left(\mathbf{z}_{\mathbf{i}} \mid \mathbf{X}, \mathbf{A}\right)=\mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{i} \mid \boldsymbol{\mu}_{i}, \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\sigma}^{2}\right)\right)\quad\quad\quad(6)$

    　　这里，$\boldsymbol{\mu}=\mathbf{Z}^{(2)}$ 是均值向量 $\boldsymbol{z}_{i}$ 的矩阵；同样，$\log \sigma=f_{\text {linear }}\left(\mathbf{Z}^{(1)}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}^{\prime(1)}\right) $ 在 $\text{Eq.3}$ 的第一层与 $\boldsymbol{\mu}$ 共享权值 $\mathbf{W}^{(0)}$。

Decoder model

　　我们的解码器模型用于重建图形数据。我们可以重建图结构 $\mathbf{A}$，内容信息 $\mathbf{X}$，或者两者都可以重建，本文注重重建图结构 $\mathbf{A}$。

　　Decoder 是 $p(\hat{\mathbf{A}} \mid \mathbf{Z})$。

　　我们训练了一个基于图嵌入的链接预测层：

　　　　$p(\hat{\mathbf{A}} \mid \mathbf{Z})=\prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{n} p\left(\hat{\mathbf{A}}_{i j} \mid \mathbf{z}_{i}, \mathbf{z}_{j}\right)\quad\quad\quad(7)$

　　　　$p\left(\hat{\mathbf{A}}_{i j}=1 \mid \mathbf{z}_{i}, \mathbf{z}_{j}\right)=\operatorname{sigmoid}\left(\mathbf{z}_{i}^{\top}, \mathbf{z}_{j}\right)\quad\quad\quad(8)$

　　这里的预测 $\hat{\mathbf{A}}$ 应该接近于地面真相 $\mathbf{A}$。

Graph Autoencoder Model

　　嵌入 $Z$ 和重构图 $\hat{\mathbf{A}}$ 可以表示如下：

　　　　$\hat{\mathbf{A}}=\operatorname{sigmoid}\left(\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{\top}\right), \text { here } \mathbf{Z}=q(\mathbf{Z} \mid \mathbf{X}, \mathbf{A})\quad\quad\quad(9)$

Optimization

　　对于图编码器，我们通过以下方法来最小化图数据的重构误差：

　　　　$\mathcal{L}_{0}=\mathbb{E}_{q(\mathbf{Z} \mid(\mathbf{X}, \mathbf{A}))}[\log p(\mathbf{A} \mid \mathbf{Z})]\quad\quad\quad(10)$

　　对于变分图编码器，我们对变分下界进行了优化如下：

　　　　$\mathcal{L}_{1}=\mathbb{E}_{q(\mathbf{Z} \mid(\mathbf{X}, \mathbf{A}))}[\log p(\mathbf{A} \mid \mathbf{Z})]-\mathbf{K L}[q(\mathbf{Z} \mid \mathbf{X}, \mathbf{A}) \| p(\mathbf{Z})]\quad\quad\quad(11)$

　　其中，$\mathbf{K L}[q(\bullet) \| p(\bullet)]$ 是 $q(\bullet)$ 和 $p(\bullet)$ 之间的 KL 散度。$p(\bullet)$ 是一个先验分布，它在实践中可以是一个均匀分布，也可以是一个高斯分布 ：$p(\mathbf{Z})= \prod\limits_{i} p\left(\mathbf{z}_{i}\right)=\prod\limits_{i} \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{i} \mid 0, \mathbf{I}\right)$。

　　我们的模型的基本思想是强制潜在表示 $\mathbf{Z}$ 来匹配一个先验分布，这是通过一个对抗性的训练模型来实现的。对抗性模型是建立在一个标准的多层感知器(MLP)上，其中输出层只有一维的 $sigmoid$ 函数。对抗模型作为一个鉴别器来区分潜在代码是来自先前的 $p_{z}$（positive）还是图编码器 $\mathcal{G}(\mathbf{X}, \mathbf{A})$（negative）。通过最小化训练二值分类器的交叉熵代价，最终在训练过程中对嵌入方法进行正则化和改进。该成本的计算方法如下：

　　　　$-\frac{1}{2} \mathbb{E}_{\mathbf{z} \sim p_{z}} \log \mathcal{D}(\mathbf{Z})-\frac{1}{2} \mathbb{E}_{\mathbf{X}} \log (1-\mathcal{D}(\mathcal{G}(\mathbf{X}, \mathbf{A}))) \quad\quad\quad(12)$

　　在我们的论文中，我们检查了对所有模型和任务，设置 $p_{z}$ 为高斯分布和均匀分布。

Adversarial Graph Autoencoder Model

　　用鉴别器 $\mathcal{D}(\mathbf{Z})$ 训练编码器模型的方程可以写如下：

　　　　$\underset{\mathcal{G}}{\text{min }}  \underset{\mathcal{D}}{\text{max }} \mathbb{E}_{\mathbf{z} \sim p_{z}}[\log \mathcal{D}(\mathbf{Z})]+\mathbb{E}_{\mathbf{x} \sim p(\mathbf{x})}[\log (1-\mathcal{D}(\mathcal{G}(\mathbf{X}, \mathbf{A})))]\quad\quad\quad(13)$

　　其中 $\mathcal{G}(\mathbf{X}, \mathbf{A})$ 和 $\mathcal{D}(\mathbf{Z})$ 表示上述说明的发生器和鉴别器。

　　算法如下：

　　

　　在 ARGA 和 ARVGA 模型中，解码器仅仅是作为嵌入 $z$ 的点积执行的链路预测层。实际上，解码器也可以是图卷积层，也可以是链路预测层和图卷积解码器层的组合。

GCN Decoder for Graph Structure Reconstruction (ARGA GD)

　　我们对编码器进行了修改，增加了两个图的卷积层来重建图的结构。

　　这种方法的变体被命名为 ARGAGD。Fig 2 展示了 ARGAGD 的体系结构。

　　

　　在这种方法中，解码器的输入将从编码器中嵌入，并且图卷积解码器构造如下：

　　　　$\mathbf{Z}_{D}=f_{\text {linear }}\left(\mathbf{Z}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}_{D}^{(1)}\right)\quad\quad\quad(14)$

　　　　$\mathbf{O}=f_{\text {linear }}\left(\mathbf{Z}_{D}, \mathbf{A} \mid \mathbf{W}_{D}^{(2)}\right)\quad\quad\quad(15)$

　　其中，$\mathbf{Z}$ 是从图编码器学习到的嵌入，而 $\mathbf{Z}_{D}$ 和 $\mathbf{O}$ 是从图解码器的第一层和第二层的输出。$\mathbf{O}$ 的水平维数等于节点数。然后，我们计算出重建误差如下：

　　　　$\mathcal{L}_{A R G A_{-} G D}=\mathbb{E}_{q(\mathbf{O} \mid(\mathbf{X}, \mathbf{A}))}[\log p(\mathbf{A} \mid \mathbf{O})]\quad\quad\quad(16)$

GCN Decoder for both Graph Structure and Content Information Reconstruction (ARGA AX)

　　我们进一步修改了我们的图的卷积解码器，以重建图的结构 $\mathbf{A}$ 和内容信息 $\mathbf{X}$。该体系结构如 Fig.3 所示。

　　

　　我们用与每个节点相关的特征数固定第二图卷积层的维数，因此第二层的输出 $\mathbf{O} \in \mathbb{R}^{n \times f} \ni \mathbf{X}$。在这种情况下，重构损失由两个误差组成。首先，图结构的重构误差可以最小化如下：

　　　　$\mathcal{L}_{A}=\mathbb{E}_{q(\mathbf{O} \mid(\mathbf{X}, \mathbf{A}))}[\log p(\mathbf{A} \mid \mathbf{O})] \quad\quad\quad(17)$

　　然后用类似的公式可以最小化节点内容的重构误差：

　　　　$\mathcal{L}_{X}=\mathbb{E}_{q(\mathbf{O} \mid(\mathbf{X}, \mathbf{A}))}[\log p(\mathbf{X} \mid \mathbf{O})] \quad\quad\quad(18)$

　　最终的重构误差是图的结构和节点内容的重构误差之和：

　　　　$\mathcal{L}_{0}=\mathcal{L}_{A}+\mathcal{L}_{X}\quad\quad\quad(19)$

3 Experiments

数据集

　　

节点聚类

　　

4 Conclusion

　　本文提出了一种新的对抗性图嵌入框架。我们认为现有的图嵌入算法都是非正则化方法，忽略了潜在表示的数据分布，在真实图数据中嵌入不足。我们提出了一种对抗性训练方案来正则化潜在码，并强制使潜在码匹配先验分布。对抗性模块与一个图卷积自动编码器共同学习，以产生一个鲁棒表示。我们还利用了ARGA的一些有趣的变化，如ARGADG和ARGAAX，来讨论图卷积解码器对重构图结构和节点内容的影响。实验结果表明，我们的算法ARGA和ARVGA在链路预测和节点聚类任务中优于基线算法。

　　反向正则化图自动编码器(ARGA)有几个方向。我们将研究如何使用ARGA模型生成一些真实的图[64]，这可能有助于发现生物领域的新药。我们还将研究如何将标签信息合并到ARGA中来学习鲁棒图嵌入。