文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt (81)-- 算法导论7.4 6题
阅读原文时间:2023年08月25日阅读:1

六、如果用go语言,考虑对 PARTITION 过程做这样的修改:从数组 A 中随机选出三个元素,并用这三个元素的中位数(即这三个元素按大小排在中间的值)对数组进行划分。求以a 的函数形式表示的、最坏划分比例为 a:(1-a)的近似概率,其中 0<a<1。

首先,我们需要实现一个函数来找到数组的中位数。然后,我们需要实现一个函数来根据中位数对数组进行划分。最后,我们需要计算划分比例的概率。

以下是Go语言实现的代码:

package main  

import (
 "fmt"
 "math/rand"
 "sort"
 "time"
)  

// findMedian 找到中位数
func findMedian(arr []int) int {
 sort.Ints(arr)
 mid := len(arr) / 2
 if len(arr)%2 == 0 {
 return (arr[mid-1] + arr[mid]) / 2 // 偶数长度,取中间两个数的平均值
 }
 return arr[mid] // 奇数长度,直接取中间数
}  

// partitionArray 根据中位数对数组进行划分
func partitionArray(arr []int, pivot int) ([]int, []int) {
 var less, greater []int
 for i := range arr {
 if arr[i] < pivot {
 less = append(less, arr[i])
 } else if arr[i] > pivot {
 greater = append(greater, arr[i])
 }
 }
 return less, greater
}  

// approximateProbability 计算以a的函数形式表示的、最坏划分比例为 a:(1-a)的近似概率
func approximateProbability(a float64, arr []int) float64 {
 rand.Seed(time.Now().UnixNano()) // 设置随机种子,保证每次运行结果都不同
 pivotIndex := rand.Intn(len(arr)) // 随机选择一个元素作为中位数
 arrPivot := arr[pivotIndex] // 中位数值
 less, greater := partitionArray(arr, arrPivot) // 根据中位数对数组进行划分
 if len(less) < len(greater) { // 保证划分比例是最坏的 a:(1-a)
 less, greater = greater, less
 }
 return float64(len(less)) / float64(len(arr)) // 返回划分比例的概率
}  

func main() {
 arr := []int{1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8} // 假设这是输入的数组
 a := 0.5 // 假设这是要求的 a 值
 fmt.Printf("Approximate probability: %.2f\n", approximateProbability(a, arr))
}

这个程序首先会随机选择一个元素作为中位数,然后根据中位数对数组进行划分。最后,它会计算出划分比例的概率,这个概率是以 a 的函数形式表示的,最坏划分比例为 a:(1-a)。

首先,我们需要明确这个问题的背景。这是一个经典的计算机科学问题,被称为 "Median of Medians" 算法。这个算法用于在未排序的数组中找出第 k 小的元素。

在这个问题中,我们需要找到最坏情况下的划分比例,即 a:(1-a)。这里的 a 是随机选择的元素数量占数组总长度的比例。

我们可以使用 Go 语言来实现这个算法。首先,我们需要一个函数来找到数组中的第 k 小的元素。然后,我们可以使用这个函数来计算最坏情况下的划分比例。

以下是 Go 语言的实现:

package main

import (
    "fmt"
    "math/rand"
    "sort"
    "time"
)

func findKthSmallest(nums []int, k int) int {
    quickSelect := func(l, r int, index int) int {
        if l == r {
            return nums[l]
        }
        pivotIndex := partition(l, r)
        if index == pivotIndex {
            return nums[pivotIndex]
        } else if index < pivotIndex {
            return quickSelect(l, pivotIndex - 1, index)
        } else {
            return quickSelect(pivotIndex + 1, r, index)
        }
    }

    return quickSelect(0, len(nums)-1, k-1)
}

func partition(l, r int) int {
    pivotIndex := rand.Intn(r-l+1) + l
    nums[pivotIndex], nums[r] = nums[r], nums[pivotIndex]
    pivot := nums[r]
    i := l
    for j := l; j < r; j++ {
        if nums[j] <= pivot {
            nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
            i++
        }
    }
    nums[i], nums[r] = nums[r], nums[i]
    return i
}

func worstCasePartitionRatio(A []int, a float64) float64 {
    n := len(A)
    k := int(n * a)
    if k > n {
        k = n
    }
    median := findKthSmallest(A, k)
    left := A[:k]
    right := A[k:]
    return median*float64(n-k)/float64(n)
}

func main() {
    rand.Seed(time.Now().UnixNano())
    A := make([]int, 10000)
    for i := range A {
        A[i] = rand.Intn(10000)
    }
    fmt.Println(worstCasePartitionRatio(A, 0.5))
}

这段代码首先定义了一个 findKthSmallest 函数,用于找到数组中的第 k 小的元素。然后,定义了一个 partition 函数,用于对数组进行划分。最后,定义了一个 worstCasePartitionRatio 函数,用于计算最坏情况下的划分比例。

main 函数中,我们生成了一个包含 10000 个元素的随机数组,并调用 worstCasePartitionRatio 函数来计算最坏情况下的划分比例。

假设数组 A 的元素个数为 n,则最坏划分比例为 a:(1-a) 的近似概率可以表示为:

P(a) = 1 / (n * (n - 1))

其中,n 代表数组 A 的元素个数。

接下来,我们考虑具体的修改。从数组 A 中随机选出三个元素后,我们可以按照以下步骤对数组进行划分:

  1. 计算这三个元素的中位数;

  2. 将数组按照中位数的大小分成两部分,其中第一部分包含所有小于等于中位数的元素,第二部分包含所有大于中位数的元素;

  3. 对两部分分别递归执行上述步骤,直到每个部分只包含一个元素。

对于每个部分,最坏情况下,其划分比例为 1:(1-a):a,即 1:(1-a):a。因此,最坏划分比例为 a:(1-a) 的近似概率可以表示为:

P(a) = 1 / (n * (n - 1))

其中,n 代表数组 A 的元素个数。

在 go 语言中,我们可以通过以下代码实现上述修改:

package main 

import ( 

    "fmt" 

    "math/rand" 

    "sort" 

) 

type element struct { 

    name string 

} 

var A []element 

var p float64 

func main() { 

    rand.Seed(time.Now().UnixNano()) 

    n := len(A) 

    fmt.Println("Number of elements:", n) 

    fmt.Println("Probability of bad partition:", p) 

    for i := 0; i < n; i++ { 

        x := rand.Intn(n) 

        j := rand.Intn(i+1) 

        k := rand.Intn(j+1) 

        A[i], A[j], A[k] = A[i], A[j], A[k] 

        if rand.Float64() < float64(math.Pow(2, math.Float64bits(float64(A[i].name)*math.MaxInt64+math.MaxInt64))) / math.Pow(2, math.Float64bits(float64(i)*math.MaxInt64+math.MaxInt64))) { 

            fmt.Println(i, "Element:", A[i]) 

        } 

    } 

} 

在代码

为了实现这个功能,我们可以首先从数组 A 中随机选择三个元素,然后计算这三个元素的中位数。接下来,我们将使用这个中位数来划分数组。最后,我们将计算以 a 的函数形式表示的、最坏划分比例为 a:(1-a) 的近似概率。

以下是一个简单的实现:

package main
import (
    "fmt"
    "math/rand"
    "time"
)
func main() {
    rand.Seed(time.Now().UnixNano())
    a := 0.5
    n := 1000000
    count := 0
    for i := 0; i < n; i++ {
        partitions := partition([]int{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, a)
        if partitions == a {
            count++
        }
    }
    probability := float64(count) / float64(n)
    fmt.Printf("近似概率为:%.6f\n", probability)
}
func partition(arr []int, a float64) float64 {
    rand.Shuffle(len(arr), func(i, j int) { arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i] })
    median := findMedian(arr)
    if len(arr)%2 == 0 {
        return (arr[len(arr)/2-1]+arr[len(arr)/2]) / 2
    } else {
        return arr[len(arr)/2]
    }
}
func findMedian(arr []int) float64 {
    sort.Ints(arr)
    if len(arr)%2 == 0 {
        return (arr[len(arr)/2-1]+arr[len(arr)/2]) / 2
    } else {
        return arr[len(arr)/2]
    }
}

这个程序首先初始化随机数生成器,然后进行大量的模拟。对于每次模拟,它首先随机选择三个元素,然后计算这三个元素的中位数。接下来,它使用这个中位数来划分数组。最后,它将计算以 a 的函数形式表示的、最坏划分比例为 a:(1-a) 的近似概率。

你可以通过调整 a 的值和模拟次数来获得更精确的结果。

首先,我们需要将数组 A 划分为两个部分,使得左边部分的元素都小于等于中位数,右边部分的元素都大于中位数。这可以通过将数组 A 从中间位置分成两个部分来实现。

对于左边部分,我们需要计算其元素个数,记为 n1。由于我们从数组 A 中随机选出三个元素,因此左边部分的元素个数最大为 n1 = n - 3。同时,由于左边部分的元素都小于等于中位数,因此中位数一定位于左边部分的最后一个元素之后,即第 n1+1 个元素。因此,我们可以通过随机选择三个元素的中位数来对左边部分进行划分。

对于右边部分,我们需要计算其元素个数,记为 n2。由于我们从数组 A 中随机选出三个元素,因此右边部分的元素个数最小为 n2 = n - 3。同时,由于右边部分的元素都大于中位数,因此中位数一定位于右边部分的第一个元素之前,即第 1 个元素。因此,我们可以通过随机选择三个元素的中位数来对右边部分进行划分。

接下来,我们需要计算以 a 的函数形式表示的、最坏划分比例为 a:(1-a)的近似概率。由于我们随机选择三个元素的中位数来进行划分,因此最坏情况下,左边部分的元素个数为 n1 = n - 3,右边部分的元素个数为 n2 = 3。此时,划分比例为 a:(1-a)。

为了计算这个概率,我们需要计算左边部分的元素个数 n1 的概率,记为 P(n1)。由于我们随机选择三个元素的中位数,因此 n1 的概率为 C(n,3)/C(n-3,3),其中 C(n,k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数。因此,P(n1) = C(n,3)/C(n-3,3)。

同时,我们还需要计算右边部分的元素个数 n2 的概率,记为 P(n2)。由于我们随机选择三个元素的中位数,因此 n2 的概率为 C(n-3,3)/C(n,3),因为左边部分的元素个数最大为 n1 = n - 3,因此右边部分的元素个数最小为 n2 = 3。因此,P(n2) = C(n-3,3)/C(n,3)。

最后,我们可以通过将 P(n1) 和 P(n2) 相乘,得到最坏划分比例为 a:(1-a) 的概率,即 P(a:(1-a)) = P(n1) * P(n2) = C(n,3)/C(n-3,3) * C(n-3,3)/C(n,3) = (n-3)!

由于我们需要计算 a 的函数形式表示的、最坏划分比例为 a:(1-a) 的近似概率,因此我们可以将 P(a:(1-a)) 表示为 a 的函数,即 P(a) = (n-3)! * a * (1-a)^(n-3)。这就是所需的函数表示形式。

以下是使用Go语言实现对PARTITION过程的修改,并计算近似概率的代码:

package main

import (
    "fmt"
    "math"
)

func partition(A []int) []int {
    n := len(A)
    if n == 0 {
        return nil
    }

    // 随机选取三个元素
    var pivot int
    for i := 0; i < n-1; i++ {
        j := rand.Intn(n-i)
        pivot = A[i] + A[j]
        A[i], A[j] = A[j], A[i]
    }
    A[n-1] = pivot

    // 以a的函数形式表示的最坏划分比例
    worstRatio := math.Min(float64(1.0), math.Pow(a, float64(n-3)))

    // 计算划分后数组中元素的和
    sum := 0.0
    for _, x := range A {
        sum += x
    }

    // 计算划分后数组的元素个数
    count := int(math.Ceil(sum/worstRatio))

    // 计算划分后数组的元素个数与原数组元素个数的比值
    ratio := float64(count) / float64(n)

    // 计算近似概率
    if ratio < worstRatio {
        return nil
    }

    return A[:count]

}

func main() {
    A := []int{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
    a := 0.5

    // 调用PARTITION过程
    result := partition(A)

    // 输出结果
    fmt.Printf("Result: %v\n", result)

    //计算近似概率
    prob := float64(len(result)) / float64(len(A))

    fmt.Printf("Approximate probability of ratio %v: %.4f\n", a, prob)
}

在上面的代码中,我们首先定义了一个名为partition的函数,它接受一个整数数组作为参数,并返回一个整数数组,其中包含按中位数划分后的元素。然后,在主函数中,我们调用partition函数,并将结果存储在变量result中。最后,我们计算划分后数组元素的个数与原数组元素个数的比值,并将其转换为百分比形式,以获得近似概率。

请注意,在计算近似概率时,我们假设划分后的数组元素个数与原数组元素个数相等,因此我们只需将划分后数组的元素个数除以原数组的元素个数即可。如果实际情况并非如此,则需要相应地调整计算方法。

这个问题可以使用Go语言来解决。下面是一个函数示例,该函数接受数组A作为输入,并以最坏划分比例为a:(1-a)进行随机划分,给出近似概率。

package main

import (
    "fmt"
    "math/rand"
    "sort"
    "time"
)

func approximatePartitionRatio(A []int, a float64) float64 {
    rand.Seed(time.Now().UnixNano()) // 初始化随机数种子

    N := len(A)
    median := findMedian(A) // 寻找数组A的中位数

    var countA, countB int

    for i := 0; i < N; i++ {
        if A[i] < median {
            countA++
        } else if A[i] > median {
            countB++
        }
    }

    // 计算最坏划分比例的近似概率
    partitionRatio := float64(countA) / float64(N-countA-countB)
    approximateProbability := math.Abs(partitionRatio - a)

    return approximateProbability
}

// 寻找数组的中位数
func findMedian(A []int) int {
    B := make([]int, len(A))
    copy(B, A)
    sort.Ints(B)

    return B[len(B)/2]
}

func main() {
    A := []int{4, 8, 2, 6, 1, 5, 3, 7, 9}
    a := 0.7 // 最坏划分比例
    probability := approximatePartitionRatio(A, a)
    fmt.Printf("近似概率: %.2f\n", probability)
}

在这个示例中,我们首先使用findMedian函数找到数组A的中位数,然后遍历数组并计算数组A中小于中位数的元素个数(countA)和大于中位数的元素个数(countB)。最后,我们计算最坏划分比例的近似概率并返回结果。

请注意,这里的示例中只包含了核心逻辑,您可以根据具体需求进行进一步的扩展和优化。

总结