一些简单的定义：

• 真前缀：不是整个字符串的前缀
• 真后缀：不是整个字符串的后缀

当然不可能这么简单的，来个重要的定义

• 前缀函数：

  给定一个长度为\(n\)的字符串\(s\)，其 \(前缀函数\) 为一个长度为\(n\)的数组\(\pi\),其中\(\pi_i\)表示

简而言之，\(\pi_i\)为字串\(s[0…i]\)最长相等的真前缀和真后缀长度

特别的，规定\(\pi_0\)=0

举个例子，对于字符串\(s=\)"\(abcabcd\)",其前缀函数\(\pi=\{0,0,0,1,2,3,0\}\)

考虑如何去求前缀函数，最暴力的做法肯定使\(O(n^3)\)的，枚举前缀位置、真前缀（真后缀）的长度和真前缀（真后缀）的每一位，代码就不放出来了（其实是没写）

优化一

我们发现当\(i+1\)时，\(\pi_i\)最多\(+1\)，也就是说我们枚举\(\pi_i\)的长度时，上界为\(\pi{i-1}+1\)，这样复杂度可以被优化为\(O(n^2)\)

代码如下

void Getnex(string str){
    int len=str.size();
    nex[0]=0;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        for (int j=nex[i-1];j>=0;j--) {
            if (str.substr(0,j)==str.substr(i-j+1,j)) {
                nex[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
}

如何证明这个复杂度呢

我们发现每次进行一次\(substr\)操作，都意味着\(\pi_i\)的值都会\(-1\)

显然有一种最坏的情况是，\(p_i\)的值先变成\(n-1\)，然后再掉回\(0\)

容易看出这不会超过\(O(n)\)次，然后每次\(substr\)的复杂度为\(O(n)\)

所以总复杂度\(O(n^2)\)

优化二

我们在优化一中发现了一个性质，当\(s[i+1]==s[\pi_i]\)时，\(\pi_i=\pi_{i-1}+1\)

考虑把这个性质推下去，当\(s[i+1]!=s[\pi_i]\)时

我们发现，我们要找的转移点\(j\)是要满足\(i-1\)的前缀性质的

即满足\(s[1…j]=s[i-(j-1)…i]\)

当\(\pi_i\)不行时我们自然要去找下一个满足性质的转移点

很容易想到这东西不就是\(\pi_{\pi_i}吗\)

由于真前缀和真后缀相等，所以\(\pi_{\pi_i}\)必然满足既是真前缀的真前缀又是真后缀的真后缀

可能有点绕，举个例子\(s=\)"\(abaabaa\)"（下标从\(0\)开始）

当我们求\(\pi_6\)时，前面的\(\pi\)值为

\(\pi[0…5]=\{0,0,1,1,2,3\}\)

我们发现\(s[6]!=s[\pi_5=3]\)

那么我们就需要找到下一个转移点\(j\)满足\(s[0…j]=s[5-(j+1)…5]\)

因为\(\pi_5=3\)所以\(s[0…5]\)的满足前缀性质的真前缀（真后缀）为\(aba\)

所以对于字符串"\(aba\)"满足前缀性质的真前缀（真后缀）一定满足\(s[0…5]\)的前缀性质

所以转移点即为\(\pi_3=\pi_{\pi_5}\)

至此，求前缀函数便可以优化成\(O(n)\)了

void Getnex(std::string S) {
    for (int i=2,j=0;i<S.size();i++) {
        while(j && S[j+1]!=S[i]) j=nex[j];
        if (S[j+1]==S[i]) j++;
        nex[i]=j;
    }
}

前话到此完结，接下来是真正的\(KMP\)

\(KMP\)是对于前缀函数的典型运用

举个例子，给定一个文本\(t\)和字符串\(s\)，我们尝试求出\(s\)在\(t\)中的所有出现

我们记\(n,m\)为\(s\)和\(t\)的长度

我们构造一个字符串为\(s+\)'\(.\)'\(+t\)，其中\(.\)为不在\(s,t\)中出现的分隔符

计算出这个字符串的前缀函数，考虑这个前缀函数除去前\(n+1\)个值意味着什么

根据定义，\(\pi_i\)为右端点为\(i\)，且为一个前缀的最长真子串长度

且由于有分割符的存在，\(\pi\)不可能超过\(n\)

当\(\pi_i=n\)时，则意味着\(s\)在\(t\)中完整出现一次，其右端点为\(i\)

因此\(KMP\)可以在\(O(n+m)\)的复杂度内解决问题

void KMP(std::string S,std::string T) {
    for (int i=1,j=0;i<S.size();i++) {
        while(j && T[j+1]!=S[i]) j=nex[j];
        if (T[j+1]==S[i]) j++;
        if (j==m-1) {
            std::cout<<i-m+2<<std::endl;
            j=nex[j];
        }
    }
}

字符串的周期

定义：

• 对于字符串\(s\)，若存在\(p\)满足\(s[i]=s[i+p](i\in[0,|s|-p-1])\)，则\(p\)为\(s\)的周期

• 对于字符串\(s\)，若存在\(r\)满足\(s\)长度为\(r\)的前缀和长度为\(r\)的后缀相等，则称\(s\)长度为\(r\)的前缀是\(s\)的\(border\)

由这两个定义不难看出\(|s|-r\)是\(s\)的周期

根据前缀函数的定义我们可以得出\(s\)所有\(border\)长度，即\(\pi_{n-1},\pi_{\pi_{n-1}},…\)

所以我们可以在\(O(n)\)的时间复杂度内求出\(s\)的所有周期

其中最小周期为\(n-\pi_{n-1}\)

统计每个前缀的出现次数

以下默认字符串下标从\(1\)开始

主要是两种问题，一个是求\(s\)的前缀在\(s\)中的出现次数，另一个是求\(s\)的前缀在另一个字符串\(t\)中的出现次数

考虑位置\(i\)的前缀函数值\(\pi_i\)，根据定义，其意味着字符串\(s\)一个长度为 的前缀在位置\(i\)出现并以\(i\)为右端点，同时不存在一个更长的前缀满足前述定义。

与此同时，更短的前缀可能以该位置为右端点。

容易看出，我们遇到了在计算前缀函数时已经回答过的问题：给定一个长度为\(j\)的前缀，同时其也是一个右端点位于\(i\)的后缀，下一个更小的前缀长度\(k<j\)是多少？该长度的前缀需同时也是一个右端点为\(i\)的后缀。

因此以位置\(i\)为右端点，有长度为\(\pi_i\)的前缀，有长度为\(\pi_{\pi_i}\)的前缀，等等，直到长度变为0。

故而我们可以通过下述方式计算答案。

void Getcnt(std::string str) {
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[nex[i]]++;
    for (int i=str.size()-1;i>0;i--) ans[nex[i]]+=ans[nex[i]];
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[i]++;
}

例题：CF432D Prefixes and Suffixes

题意：

给你一个长度为n的长字符串，“完美子串”既是它的前缀也是它的后缀，求“完美子串”的个数且统计这些子串的在长字符串中出现的次数

模板题，直接写就行

#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),freopen(#a".out","w",stdout)

const int maxn=1e5+5;
int n,nex[maxn],ans[maxn];
std::string str;

void chkmax(int &x,int y) {if (x<y) x=y;}
void chkmin(int &x,int y) {if (x>y) x=y;}
int read() {
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9' && ch>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

void Getnex(std::string s) {
    for (int i=2,j=0;i<s.size();i++) {
        while(j && s[j+1]!=s[i]) j=nex[j];
        if (s[j+1]==s[i]) j++;
        nex[i]=j;
    }
}
void out(int i,int cnt) {
    if (!i) {std::cout<<cnt<<std::endl;return ;}
    out(nex[i],cnt+1);
    std::cout<<i<<' '<<ans[i]<<std::endl;
}

int main() {
    std::cin>>str;
    str=" "+str;
    Getnex(str);
    // for (int i=1;i<str.size();i++) std::cout<<nex[i]<<' ';puts("");
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[nex[i]]++;
    for (int i=str.size();i>=1;i--) ans[nex[i]]+=ans[i];
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[i]++;
    out(str.size()-1,0);
    return 0;
}

定义:

对于一个字符串\(s\)，\(z[i]\)表示\(s\)和\(s[i…n-1]\)的\(LCP\)(最长公共前缀)的长度，\(z\)则被称为\(s\)的\(Z\)函数

我们在计算的时候，可以通过前面已知的\(z\)来计算

对于\(i\)，我们称区间\([i,i+z[i]-1]\)为\(i\)的匹配段

我们在算法过程中维护右端点最靠右的匹配段，记作\([l,r]\)

则有\([l,r]\)为\(s\)的前缀，并且在计算\(z[i]\)时我们保证\(l\leq i\)

算法流程

最开始时，\(l=r=0\)

在计算\(z[i]\)的过程中

• 若\(i\leq r\)，则有\(s[i,r]=s[i-l,r-l]\)，所以\(z[i]\ge min(z[i-l,r-i+1])\)

  • 若\(z[i-l]<r-i+1\)，则\(z[i]=z[i-l]\)
  • 若\(z[i-l]\ge r-i+1\)，我们令\(z[i]=r-i+1\)，然后暴力向后枚举字符

• 若\(i>r\)，我们直接暴力从\(s[i]\)开始比较，求出\(z[i]\)

• 求出\(z[i]\)后，还要更新\(l,r\)

  void GetZ(std::string s) {
  int l=0,r=0;
  for (int i=1;ir) {l=i;r=i+z[i]-1};
  }
  }

复杂度分析

对于内层的\(while\)，每次执行都会使\(r\)向后移动至少一位，而\(r<n-1\)，所以总共最多做\(n\)次

加上外层的\(for\)，总复杂度\(O(n)\)