bzoj 3576[Hnoi2014]江南乐 sg函数+分块预处理
阅读原文时间:2024年05月27日阅读:1

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小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后,小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。

游戏的规则是这样的,首先给定一个数F,然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子,小A和他的对手轮流操作。每次操作时,操作者先选定一个不小于2的正整数M

(M是操作者自行选定的,而且每次操作时可不一样),然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆,并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1(即分的尽量平均,事实上按照这样的分石子万法,选定M和一堆石子后,它分出来的状态是固定的)。当一个玩家不能操作的时候,也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时,他就输掉。(补充:先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后,此时共有N+M-1)堆石子,接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子,依此类推。
    小A从小就是个有风度的男生,他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道,面对给定的一组游戏,而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话,究竟谁能够获得胜利?

输入第一行包含两个正整数T和F,分别表示游戏组数与给定的数。
    接下来T行,每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数,表示这N堆石子分别有多少个。

输出一行,包含T个用空格隔开的0或1的数,其中0代表此时小A(后手)会胜利,而1代表小A的对手(先手)会胜利。

4 3
1 1
1 2
1 3
1 5

0 0 1 1

对于100%的数据,T<100,N<100,F<100000,每堆石子数量<100000。

以上所有数均为正整数。

首先每一堆石子是单独的是绝对可以肯定的,

所以预处理好所有的石子个数,

桌面处理,就是直接暴力枚举怎么分,这样的话是O(n^2)

然后我们发现。比如将100分成40堆,41堆,这类都是2或者3,而且这样的话也就是许多分成

的种类是相同的,那么这样总共就√n种不同的值,

但是每种的奇偶性是比较关键的,

100分成40堆,2的话20堆,3的话20堆,

100分成41堆,2的话23堆,3的话18堆,

100分成42堆,2的话26堆,3的话16堆。

发现什么

我们代数来证明,当n为奇数,一定是一部分奇数,一部分偶数

因为分成的两种的话一定是奇偶性不同的,所以只有两者情况

分相差1堆时正好反应。

当n为偶数也是一样的。

所以只需n分成x与x+1两部分时,我们只需要做相邻两者即可,如100只需要做40和41两者,就可以了,

100/34=2 然后调到100/2 +1去,这样预处理复杂度是n√n

后面用sg定理就可以了。

#pragma GCC optimize(2)
#pragma G++ optimize(2)
#include
#include
#include
#include
#include

#define N 100007
using namespace std;
inline int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}

int T,F,Tim;
int a[N],sg[N];
int boo[N];

void prepare()
{
for(int x=F;x<=;x++)
{
Tim++;int small,num,ys,now,nxt;
for (int i=;i<=x;i=nxt+)//x与x+1是一样的
{
small=x/i,ys=x%i;
num=i-ys,now=;
if(num&)now^=sg[small];
if(ys&)now^=sg[small+];
boo[now]=Tim;
nxt=min(x/small,x);
if(i+<=nxt)
{
now=,ys=x%(i+);
num=(i+)-ys;
if(num&)now^=sg[small];
if(ys&)now^=sg[small+];
boo[now]=Tim;
}
}
int mex=;
while(boo[mex]==Tim)mex++;
sg[x]=mex;
}
}
int main()
{
memset(sg,,sizeof(sg));
T=read(),F=read();
prepare();
while(T--)
{
int n=read(),ans=,x;
for(int i=;i<=n;i++)
x=read(),ans^=sg[x];
if(ans)printf("%d",);
else printf("%d",);
if(T)printf(" ");
}
}

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