1.引例

有线性表（1，75，324，43，1353，90，46，…  ）

目的：查找值为90的元素

常见做法：

1、通过一维数组进行遍历查找 (依次比较)（ O(n) ）

2、如果关键字有序，可采用二分查找 （ O(logn) ）

缺陷：当数据规模极大的时候，查找将会变得效率低下。

假设：如果知道待查询关键字的地址，则只需要一次就可以查到。

问题：如何立刻知道关键字的地址？

Hash函数： 根据关键字直接计算出元素所在位置的函数。

例：设哈希函数为：H(K)=K/3+1，则构造关键字序列为 1、2、5、9、11、13、16、21、27 的哈希表（散列表）为：

2.哈希表

  根据设定的哈希函数 H(key) 和处理冲突的方法将一组关键字映象到一个有限的连续的地址集（区间）上，并以关键字在地址集中的“象”作为记录在表中的存储位置，这种表便称为哈希表，这一映象过程称为哈希造表或散列，所得存储位置称为哈希地址或散列地址。

  简单的说，哈希表可以根据一个key值来直接访问数据。其实，哈希表其实本质上就是一个数组

3.冲突

  两个不同的关键字具有相同的存储位置。（多个关键字通过hash函数得到的地址是同一个地址）

  

  在哈希存储中，若发生冲突，则必须采取特殊的方法来解决冲突问题，才能使哈希查找能顺利进行。虽然冲突不可避免，但可以减少冲突的发生，发生冲突的可能性与三个方面因素有关。

  1、装填因子α

  装填因子是指哈希表中己存入的元素个数 n 与哈希表的大小 m 的比值，即α=n/m。α越小，发生冲突的可能性越小，反之，发生冲突的可能性就越大。但是，α太小又会造成大量存贮空间的浪费，因此必须兼顾存储空间和冲突两个方面。

   2、所构造的哈希函数

  构造好的哈希函数，使冲突尽可能的少。

   3、解决冲突的方法

  设计有效解决冲突的方法 。

构造哈希函数的方法很多，下面我们来列举常见的几种：

1.直接定址法

  取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址，即H（K）=K 或 H（K）=a * K + b（其中a、b为常数）。

  例：关键字集合为 { 100，300，500，700，800，900 }， 选取哈希函数为 Hash(key)=key/100，则存储结构（哈希表）如下：

优点：以关键码 key 的某个线性函数值为哈希地址，不会产生冲突。

缺点：要占用连续地址空间，空间效率低。

2.除后余数法

  取关键字被不大于散列表表长 m 的数 p 除后所得的余数为哈希函数。即

H（K）=K mod p （p≤m）

ps：经验得知，一般可选p为质数 或 不包含小于20的质因子的合数。

p一般取131，1331，13331……

3. 随机数法

  选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即H(key)=random (key) 其中random为随机函数(random是C语言函数)。

  通常，当关键字长度不等时采用此法构造哈希函数较恰当

ps：随机都是伪随机，都是通过某种算法实现的对应值，C++使用cstdlib头。文件

实际操作中需视不同情况采用不同的哈希函数。

通常考虑的因素：

(1)计算哈希函数所需时间(包括硬件指令的因素)；

(2)关键字的长度；

(3)哈希表的大小；

(4)关键字的分布情况；

(5)记录的查找频率。

1.开放地址法

开放地址就是表中尚未被占用的地址，当新插入的记录所选地址已被占用时，即转而寻找其它尚开放的地址。

（1）线性探测法

设散列函数 H(K) = K mod m （m为表长），若发生冲突，则沿着一个探查序列逐个探查(也就是加上一个增量)，那么，第i次计算冲突的散列地址为：

             Hi  = (H(K)+di) mod m      (di=1,2,…,m-1)

2.链地址法

基本思想：

将具有相同哈希地址的记录链成一个单链表，m个哈希地址就设 m个单链表，然后用一个数组将m个单链表的表头指针存储起来，形成一个动态的结构。

例：设{ 47, 7, 29, 11, 16, 92, 22, 8, 3, 50, 37, 89 }的哈希函数为：Hash(key)=key mod 11，用拉链法处理冲突，建表。

有冲突的元素可以插在表尾,也可以插在表头(此例为头插法)。

3.再哈希法

基本思想：

  Hi= RHi(key)    i=1,2,3,……,k。

  其中，RHi均是不同的哈希函数，即在同义词产生地址冲突时计算另一个哈希函数地址，直到冲突不再发生。

4.建立一个公共溢出区

基本思想：

  假设哈希函数的值域为[0,m-1]，则设向量HashTable[0,m-1]为基本表。在此基础上，再建立一个溢出表，在之后的哈希操作中，无论关键字的同义词生成怎样的哈希地址，一旦发生冲突，就将其放入溢出表中。

No.1  Crazy Search

【思路】把每一个子串都hash为NC进制的整数s，判断hash[s]是否出现过，再进行统计。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mp[20000005];
int main(){
    map<char,int> ma;
    memset(mp,0,sizeof(mp));
    string s;
    ll n,nc,sum,idx=1,ans=0;
    scanf("%lld%lld",&n,&nc);
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.length();i++){
        if(!ma[s[i]]){
            ma[s[i]]=i;
        }
    }
    for(ll i=0;i<s.length()-n+1;i++){
        sum=0,idx=1;
        for(ll j=i;j<i+n;j++){
            sum+=ma[s[j]]*pow(nc,n-idx);
            idx++;
        }
        if(!mp[sum]){
            mp[sum]=1;
            ans++;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
} 

No.2 兔子与兔子

【思路】 字符串哈希:将一个字符串通过一种映射关系(字符串到p进制数,p一般取131或1331)转化为一个整数,通过整数对比来反映字符串关系。我们可以用一个大整数来举例：

如：91234599912345，我们如何比较两个12345串呢？

第一个12345串可以用912345-9*100000=12345；

第二个12345串可以用91234599912345-912345999*100000=12345。

大家明白了吗？上例的整数我们用的10进制，如果把它迁移到一个字符串上，由于字符有26个，所以我们可以用一个大于26进制的进制来处理，一般选用131或1331或13331来作为字符串进制。

Code

&nbsp;#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int hashh[1000005],deg[1000005];
char s[1000005];
int l1,l2,r1,r2;
int n,len,q;
int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    len=strlen(s+1);
    scanf("%d",&q);
    deg[0]=1;
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        hashh[i]=hashh[i-1]*131+(s[i]-'a'+1);
        deg[i]=deg[i-1]*131;
    }
    for(int i=0;i<q;i++)
    {
        scanf("%d%d%d %d",&l1,&r1,&l2,&r2);
        if(hashh[r1]-hashh[l1-1]*deg[r1-l1+1]==hashh[r2]-hashh[l2-1]*deg[r2-l2+1])
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}

No.3 Hash 键值 (hash)

【思路】按照正常模拟，很容易写出代码，如图：

观察时间复杂度q*n，1e10了，TLE，思考优化。

你会发现q个操作是无法简化的，而只能在查询上入手。

首先，定义一个名为sum的二维数组，sum[i][j]表示所有模i余j的数的总和；

再输入一个a[i]以后，就用一重循环遍历，代码如下：

观察发现又一个n方出现了，肯定不行！其实我们只需要收集模i余数在根号n范围内的sum[i][j]，如果我们输入的x＜根号n，那么我们O(1)输出sum[x][y]，否则我们用方法1，这个时候i+=x跨越度就非常大了，这样我们查询就分两类解决了。但又出现了新的问题，维护a[x] = y时sum[i][j]也会变，所以还得维护sum[i][j]。

Code

&nbsp;#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100005],sum[10005][10005];//模i得j的总数量
int main(){
    freopen("hash.in","r",stdin);
    freopen("hash.out","w",stdout);
    int n,q,opt,x,y;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        for(int j=1;j<=sqrt(n);j++){
            sum[j][i%j]+=a[i];
        }
    }
    while(q--){
        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
        if(opt==1){
            int ans=0;
            if(x<=sqrt(n))  printf("%d\n",sum[x][y]);
            else{
                for(int i=y;i<=n;i+=x){
                    ans+=a[i];
                }
                printf("%d\n",ans);
            }
        }
        else{
            for(int i=1;i<=sqrt(n);i++){
                sum[i][x%i]-=a[x];
                sum[i][x%i]+=y;
            }
            a[x]=y;
        }
    }
    return 0;
}

未完待续……