Wasserstein GAN (WGAN)

在一些情况下，用 JS散度来衡量两个分布的远近并不适合：

　　1. 数据是高维空间中的低维流形（manifold），两个分布在高维空间中的 overlap 少到可以忽略。

　　

　　2. 由于 sampling 的局限性，即使两个分布之间真的存在一定的 overlap，但如果采样的数据不够多的话，可能实际上并不能体现出来。

　　

在这种情况，GAN 训练过程中用JS散度来衡量分布之间的距离，即使已经很接近但是没有重合，还是会计算为常数 2log2，那在训练 D 的过程中 loss 就没有改变，梯度也就一直不变，整个 GAN 的 minmax 训练就变得困难。

Earth Mover’s Distance

不用JS散度，用 The Earth Mover's Distance http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/RUBNER/emd.htm

所有的 moving plan 中平均距离最小的

好处就是，即使两个分布没有overlap，还是能够体现出距离远近。怎么应用到 GAN 的目标函数中呢？

把 D 的最后一层的 sigmoid 函数拿掉，让 D 变成一个 real-value function ，但必须是 1-Lipschitz 连续的。（就是要让这个函数平滑，避免无法收敛的情况）

Lipschitz 函数的定义，K=1 的时候就是 1-Lipschitz 函数，y的变化总是比x的变化要小，就会比较平滑。

实施 1-Lipschitz 约束的方法：

　　1. weight clipping：Force the parameters w between c and -c. After parameter update, if w > c, w = c; if w < -c, w = -c. 但是这个做法比较粗糙，会导致 weights 大部分都直接被截在+c和-c，相当于减弱了NN的拟合能力。

　　2. gradient penalty（WGAN-GP）：A differentiable function is 1-Lipschitz if and only if it has gradients with norm less than or equal to 1 everywhere. 这个做法就是从 1-Lipschitz 函数定义出发了，但没办法真的做到对 x 积分，所以通过在P_data 和 P_G 之间随机插值采样来实现 from P_penalty 对里面的 max 函数求期望，近似积分项。

　　

　　为什么是在 P_data 和 P_G 之间插值呢？

　　因为论文中表示，这样做效果好。而且这个区域的点能够反映 how P_G moves to P_data，其他的 region 反正 P_G 也走不到，干脆就不管它。

　　

　　实际做的时候，gradient 的 norm 大于或小于 1 都会惩罚，原因也是做实验效果好：

　　

　　3. Spectrum Norm

总结一下，WGAN：

Energy-based GAN (EBGAN)

用一个 ae 来当作 discriminator，generator不改变。不用二分类器来做判别，而是依据自编码器的 negative reconstruction error 。这样做的好处是 ae 可以事先单独拿出来只用real data 就能 pre-train 。

另外一个要特别注意的是，并不是要让 generated data 的 reconstruction error 越大越好，所以要设置一个margin，generated data 的 reconstruction error 小于这个阈值就好