技术背景

当我们打开一个用于表示分子构象的xyz文件或者pdb文件，很容易可以理解这种基于笛卡尔坐标的空间表征方法。但是除了笛卡尔坐标表示方法之外，其实也有很多其他的方法用于粗粒化或者其他目的的表征方法，比如前一篇文章中所介绍的在AlphaFold2中所使用的残基的刚体表示方法。而这种刚体坐标，在本质上来说也是一种特殊的分子内坐标表示方法，因为对于每一个残基而言只有旋转和平移的自由度，而残基内部是保持互相之间相对静止的。换句话说，每一个残基的内坐标是保持不变的，本文主要介绍分子的内坐标表示方法。

具体表示方法

在笛卡尔坐标系中，我们使用绝对坐标来表示每一个原子的空间位置，虽然也可以用于计算分子之间的相对位置，但是如果每一次更新之后都需要重新计算一遍这个相对位置的话，在演化效率上来说会比较低。因此，我们考虑有没有一种方法，可以直接对分子的“相对位置”进行演化，直到演化结束之后，再转化回笛卡尔坐标进行可视化。其实，市面上已经有一些软件可以直接可视化这种基于“相对位置”的内坐标了，这里我们主要探讨从绝对坐标到相对坐标的算法。

绝对坐标描述的是B个体系，每个体系A个原子的三维空间坐标\(\textbf{r}_i\)，在python编程中我们可以用张量的维度来描述这个三维坐标(B, A, D)。
相对坐标的第一个参量是原子之间的距离\(l_{i,i+1}\)，其张量维度为(B, A-1, 1)。
相对坐标的第二个参量是原子之间的夹角\(a_{i,i+1,i+2}\)，其张量维度为(B, A-2, 1)。
相对坐标的第三个参量是原子之间的二面角\(d_{i,i+1,i+2,i+3}\)，其张量维度为(B, A-3, 1)。

最后在计算得到所有的内坐标参量之后，我们可以用concat的方法把它们按照最后一个维度进行拼接，并且在原子数维度进行扩展，最终得到一个(B, A, 3)的张量，也就是我们所需要的最终的内坐标。

代码实现

其实这个算法逻辑是很简单的，我们更多的注重一个原生算子的使用以及代码的复用。以下是几个相关的关注点：

在计算距离、角度和二面角的过程中，我们都会使用到序列原子之间的相对矢量(B, A-1, D)，那么在计算过一次之后我们应该保存下来以供几个不同的函数使用。
在numpy或者是一些常用的深度学习框架中，我们最好在代码实现阶段就去避免\(\frac{x}{0}\)这种情况的出现，一般在遇到除法、反三角函数或者对数函数的时候，我们可以在对应的位置加一个小量\(\epsilon=1e-08\)以避免出现nan的情况。
在计算相对矢量的时候我们一般使用的是错位相减，比如可以使用crd[1:]-crd[:-1]，但是这里我们在计算过程中使用的是numpy.roll对数组进行滚动之后做减法，最后再去掉一个结果。事实上用前面的这种算法会更加简单高效一些。

inner_crd.py

import numpy as np
np.random.seed(1)
EPSILON = 1e-08

def get_vec(crd):
""" Get the vector of the sequential coordinate.
"""
# (B, A, D)
crd_ = np.roll(crd, -1, axis=-2)
vec = crd_ - crd
# (B, A-1, D)
return vec[:, :-1, :]

def get_dis(crd):
""" Get the distance of the sequential coordinate.
"""
# (B, A-1, D)
vec = get_vec(crd)
# (B, A-1, 1)
dis = np.linalg.norm(vec, axis=-1, keepdims=True)
return dis, vec

def get_angle(crd):
""" Get the bond angle of the sequential coordinate.
"""
# (B, A-1, 1), (B, A-1, D)
dis, vec = get_dis(crd)
vec_ = np.roll(vec, -1, axis=-2)
dis_ = np.roll(dis, -1, axis=-2)
# (B, A-1, 1)
angle = np.einsum('ijk,ijk->ij', vec, vec_)[…, None] / (dis * dis_ + EPSILON)
# (B, A-2, 1), (B, A-1, 1), (B, A-1, D)
return np.arccos(angle[:, :-1, :]), dis, vec

def get_dihedral(crd):
""" Get the dihedrals of the sequential coordinate.
"""
# (B, A-2, 1), (B, A-1, 1), (B, A-1, D)
angle, dis, vec_0 = get_angle(crd)
# (B, A-1, D)
vec_1 = np.roll(vec_0, -1, axis=-2)
vec_2 = np.roll(vec_1, -1, axis=-2)
vec_01 = np.cross(vec_0, vec_1)
vec_12 = np.cross(vec_1, vec_2)
vec_01 /= np.linalg.norm(vec_01, axis=-1, keepdims=True) + EPSILON
vec_12 /= np.linalg.norm(vec_12, axis=-1, keepdims=True) + EPSILON
# (B, A-1, 1)
dihedral = np.einsum('ijk,ijk->ij', vec_01, vec_12)[…, None]
# (B, A-3, 1), (B, A-2, 1), (B, A-1, 1)
return np.arccos(dihedral[:, :-2, :]), angle, dis

def get_inner_crd(crd):
""" Concat the distance, angles and dihedrals to get the inner coordinate.
"""
# (B, A-3, 1), (B, A-2, 1), (B, A-1, 1)
dihedral, angle, dis = get_dihedral(crd)
# (B, A, 1)
dihedral_ = np.pad(dihedral, ((0, 0), (3, 0), (0, 0)), mode='constant', constant_values=0)
angle_ = np.pad(angle, ((0, 0), (2, 0), (0, 0)), mode='constant', constant_values=0)
dis_ = np.pad(dis, ((0, 0), (1, 0), (0, 0)), mode='constant', constant_values=0)
# (B, A, 3)
inner_crd = np.concatenate((dis_, angle_, dihedral_), axis=-1)
return inner_crd

if name == 'main':
B = 1
A = 6
D = 3
# (B, A, D)
origin_crd = np.random.random((B, A, D))
# (B, A, 3)
icrd = get_inner_crd(origin_crd)
print (icrd)

上述代码执行的输出结果如下所示：

[[[0.         0.         0.        ]
  [0.59214856 0.         0.        ]
  [0.38167145 1.89801242 0.        ]
  [0.46143538 1.2138982  1.46589893]
  [0.86899521 2.32255675 1.61009033]
  [0.84368274 2.92999231 1.97853456]]]

这个结果就是我们所需要的分子内坐标。