M/M/1模型是一种出生-死亡过程，此随机过程中的每一个状态代表模型中人数的数目。因为模型的队列长度无限且参与人数亦无限，故此状态数目亦为无限。例如状态0表示模型闲置、状态1表示模型有一人在接受服务、状态2表示模型有二人（一人正接受服务、一人在等候），如此类推。 此模型中，出生率（即加入队列的速率）λ在各状态中均相同，死亡率（即完成服务离开队列的速率）μ亦在各状态中相同（除了状态0，因其不可能有人离开队列）。故此，在任何状态下，只有两种事情可能发生：有人加入队列。如果模型在状态k，它会以速率λ进入状态k + 1有人离开队列。如果模型在状态k（k不等于0），它会以速率μ进入状态k − 1，由此可见，模型的隐定条件为λ < μ。如果死亡率小于出生率，则队列中的平均人数为无限大，此这种系统没有平衡点。

一、M/M/1随机服务系统的模拟

M/M/1服务系统：（1）队列长度没有限制；（2）顾客到达的时间间隔和服务时间均服从指数分布；（3）服务台数量为1。

1. 系统的理论绩效指标

模型参数符号说明

参数

平均到达率

平均服务率

系统服务强度

系统空闲概率

系统平均顾客数

队列平均人数

平均逗留时间

平均等待时间

符号

\(\lambda\)

\(\mu\)

\(\rho\)

\(P_0\)

\(L_s\)

\(L_q\)

\(W_s\)

\(W_q\)

R计算程序

Lambda <- 1
Mue <-2
Rho <-Lambda/Mue
p0=1-Rho
Lq= Rho ^ 2/(1-Rho)
Wq = Lq / Lambda
Ls <- Lq + Rho
Ws <- Ls / Lambda

R计算结果

参数

平均到达率

平均服务率

系统服务强度

系统空闲概率

系统平均顾客数

队列平均人数

平均逗留时间

平均等待时间

符号

\(\lambda\)

\(\mu\)

\(\rho\)

\(P_0\)

\(L_s\)

\(L_q\)

\(W_s\)

\(W_q\)

理论值

1

2

0.5

0.5

1

0.5

1

0.5

2. 系统的R模拟仿真

R模型构建

library(dplyr)
library(simmer)
T0=10
T1=10000
lambda=1.0
mu=2.0
set.seed(1234)

  ## 建立模拟环境
  bank <- simmer("bank")
  ## 用trajectory()建立顾客，并指定顾客的一系列活动
  ## seize()获取柜台服务资源，如果正在忙，就进入排队
  ## 服务时间用timeout指定，为了生成多个随机服务时间，
  ## timeout的参数是返回随机服务时间的而函数而不是时间值本身
  customer <-
    trajectory("顾客") %>%
    seize("柜台") %>%
    timeout( function() rexp(1, mu)) %>%
    release("柜台")

  ## 用add_resource生成柜台资源
  ## 用add_generator()生成顾客到来列
  bank %>%
    add_resource("柜台") %>%
    add_generator("顾客", customer, function() {rexp(1, lambda)} )

  ## 用run()执行模拟到指定结束时刻
  bank %>%
    run(until=T1)

R计算程序

## 用get_mon_arrivals()获取各个顾客到来的时间、离开时间、活动时间等，结果是数据框
  ## 用dplyr::mutate()对数据框增加新变量
  resd <- bank %>%
    get_mon_arrivals() %>%
    dplyr::mutate(waiting_time = end_time - start_time - activity_time,
                  stay_time = end_time - start_time)

  stay_times <- resd %>%
    dplyr::filter(start_time >= T0, end_time < T1) %>%
    dplyr::select(stay_time)

  ER <- mean(stay_times[[1]])
  ER.true <- 1/(mu-lambda)

  cat('模拟的平均逗留时间Ws=', ER,
      ' 期望值=', ER.true, '\n')

R计算结果

  cat('估计的平均逗留时间Ws=', ER,' 期望值=', ER.true, '\n')
  模拟的平均逗留时间Ws=0.9900721    期望值= 1

3. R模拟可视化

mon1=get_mon_arrivals(bank)
head(mon1,6)
name start_time end_time activity_time finished replication
1 顾客0   2.501759 2.505050   0.003290978     TRUE           1
2 顾客1   2.748517 2.942109   0.193591292     TRUE           1
3 顾客2   4.491264 4.903304   0.412040757     TRUE           1
4 顾客3   4.581213 5.283519   0.380215150     TRUE           1
5 顾客4   4.783831 6.223558   0.940038339     TRUE           1
6 顾客5   5.621871 7.052889   0.829331192     TRUE           1


 mon = get_mon_resources(bank)
 aggregate(cbind(server, queue) ~ resource, mon, mean)
 library(ggplot2)
    ggplot(mon, aes(x=server, fill=resource)) +
       geom_histogram(binwidth = 0.5) +
        facet_grid(.~resource, scales = 'free')

二、模拟仿真总结

随机服务系统在我们日常生活、工业生产、科学技术、军事领域中是经常遇到的随机模型，例如研究银行、理发店、商店、海关通道、高速路收费口等服务人员个数的设置和排队规则，研究计算机网络网关、移动网络的调度规则，等等。某些随机服务系统可以进行严格理论分析得到各种问题的理论解， 但是随机服务系统中存在大量随机因素，使得理论分析变得很困难以至于不可能。例如，即使是上面的银行服务问题可能的变化因素就包括：顾客到来用齐次泊松过程还是非齐次泊松过程，柜员有多少个，是否不同时间段柜员个数有变化，柜员服务时间服从什么样的分布，顾客排队按照什么规则，是否VIP顾客提前服务，顾客等候过长时会不会放弃排队，等等。 包含了这么多复杂因素的随机服务系统的理论分析会变得异常复杂，完全靠理论分析无法解决问题，可用随机模拟方法给出答案。

参考文献

1.(Simmer 2019带你飞 )[https://www.sohu.com/a/344940911_100040805]

2.(Simmer仿真平台高级使用技巧)[https://segmentfault.com/a/1190000019820794]