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Tomczak J. and Welling M. Improving Variational Auto-Encoders using Householder Flow. NIPS workshop: Bayesian Deep Learning, 2016.

本文介绍了一种Normalizing FLow, 利用Householder变换.

我们一般假设

\[q_{\phi} (z|x) = \mathcal{N}(z| \mu(x), \sigma^2(x)),
\]

但是常被人诟病的一点就是这个假设太粗暴简单了.

我们知道一个服从正态分布的随机变量\(z\)经过一个线性变化依旧是服从正态分布, 即

\[Uz \sim \mathcal{N}(U\mu(x), U \mathrm{diag}(\sigma^2(x))U^T).
\]

倘若\(U\)是正交矩阵, 则\(q(z_1) = q(z)\), 则我们即让让分布更加灵活, 但不让计算变得复杂, 这种特殊的normalizing flow 是 volume preserving flow.

因为任意的正交矩阵都能够表示成

\[U = H_K H_{K-1} \cdots H_1,
\]

\(H\)是形如\(I - c \cdot v v^T\)的矩阵.

所以本文的设想是:

1. Encoder 输出\(z^0, v^0\);
2. 通过\(v^0\)构造\(H_0\)

\[H_0 = (I - 2 \frac{v_0v_0^T}{\|v_0\|^2_2});
\]

1. 得到\(z^1 = H_0 z^0\);
2. 利用一个新的网络得到\(v^1 = f_1(v_0)\);
3. 以此类推, 得到最后的\(z^T\).

这就是整个flow.

原文代码